Fillotassi

La fillotassi è la disposizione di foglie, piccoli fiori o semi su una pianta. Nel capolino di un girasole, i semi formano due famiglie di spirali, i cui conteggi sono spesso numeri di Fibonacci consecutivi. Qui puoi contare le spirali in qualsiasi punto di un disco di semi, vedere cosa cambia con una piccola variazione dell’angolo e osservare una regola priva di un angolo prefissato arrivare vicino all’angolo aureo. In Angolo fisso, il seme $k$ su un totale di $N$, contando da 0, si trova in

Ogni seme ruota di α in più rispetto al precedente, e la radice quadrata assegna a ogni nuovo seme la stessa area di anello. L’uniformità della distribuzione dei semi lungo gli anelli dipende dall’angolo. Questo è il modello di un capolino di girasole di Helmut Vogel (1979).

Il cerchio blu è dove conti. Lì la pagina individua le spirali che l’occhio vede e le disegna in giallo: linee continue per la famiglia dei vicini più prossimi e tratteggiate per l’altra. Le numera nei punti in cui attraversano il cerchio.

Nessun seme è collegato a un altro: le spirali sono opera dell’occhio. Il seme $k + m$ ha ruotato di $m\alpha$ in più rispetto al seme $k$. Quando $m\alpha$ è vicino a un numero intero di giri, i due puntano quasi nella stessa direzione e, se anche i raggi sono simili, sono vicini. Collegando ogni seme a quello $m$ posizioni dopo si traccia allora una famiglia di $m$ spirali. L’angolo aureo è

e sul cerchio predefinito

quindi i semi distanti 34 e 55 posizioni nella sequenza sono i più vicini, e l’occhio vede 34 spirali e 55. Una famiglia la cui rotazione è poco inferiore a un numero intero di giri si avvolge verso l’esterno in un senso; una che supera di poco quel numero si avvolge nell’altro.

Perché numeri di Fibonacci? I valori di $m$ per cui $m\alpha$ si avvicina di più a un numero intero di giri si leggono dalla frazione continua di α espresso come frazione di giro. Per l’angolo aureo, ogni termine dopo il 2 è 1,

quindi le sue migliori approssimazioni razionali hanno denominatori di Fibonacci. Cadono alternativamente sopra e sotto α/360°, ed è per questo che, all’angolo aureo, le due famiglie si avvolgono in versi opposti. La coppia visibile sul cerchio dipende dalla sua posizione. Due semi distanti $m$ posizioni differiscono un poco nel raggio e un poco nella direzione. Andando verso l’esterno, la differenza di raggio conta meno e quella di direzione di più. Subentra quindi una famiglia la cui direzione ritorna più vicina a quella iniziale, anche se i suoi semi sono più distanti nella sequenza, e i conteggi passano da un numero di Fibonacci al successivo.

Angoli vicini all’angolo aureo possono produrre immagini del tutto diverse, e la frazione continua spiega perché. Un termine grande indica un ritorno insolitamente vicino alla stessa direzione, che può far risaltare i bracci a spirale. L’angolo aureo, i cui termini dopo il 2 sono tutti 1, mantiene le direzioni distribuite uniformemente. Il piccolo diagramma mostra le direzioni dei primi semi su un cerchio: qualunque sia il loro numero, l’intervallo più lungo è al massimo $\varphi^2 \approx 2.618$ volte quello più corto.

Le piante non misurano angoli, e Più spazio non ne imposta nessuno. Un apice in crescita produce un primordio dopo l’altro, ciascuno l’abbozzo di una foglia o di un piccolo fiore. Nel 1868 Wilhelm Hofmeister osservò che un nuovo primordio compare nello spazio più ampio fra quelli già presenti, che poi si allontanano dall’apice. Più spazio esegue un modello semplificato di questa regola. Dallo stato iniziale predefinito, finché i primordi precedenti vengono spinti molto verso l’esterno tra una nascita e l’altra, ogni nuovo primordio compare dalla parte opposta rispetto al precedente. Quando la spinta diminuisce, l’angolo si allontana da 180°, oscilla attorno a 137,5° e si assesta vicino a 137,47°, mentre i conteggi delle spirali crescono seguendo i numeri di Fibonacci. Da altri stati iniziali, la stessa regola può stabilizzarsi altrove, per esempio vicino a 99,7°.