Filotaksis

Filotaksis adalah susunan daun, bunga kecil, atau biji pada tumbuhan. Pada kepala bunga matahari, biji membentuk dua keluarga spiral, dan jumlah keduanya sering berupa bilangan Fibonacci yang berurutan. Di sini kamu bisa menghitung spiral di mana pun pada cakram biji, melihat pengaruh sedikit perubahan sudut, dan mengamati aturan tanpa sudut yang ditetapkan mencapai nilai dekat sudut emas. Dalam Sudut tetap, biji $k$ dari total $N$, dihitung mulai dari 0, berada di

Setiap biji berputar α lebih jauh daripada biji sebelumnya, dan akar kuadrat memberi setiap biji baru luas cincin yang sama. Seberapa merata biji tersebar mengelilingi cincin bergantung pada sudutnya. Ini adalah model kepala bunga matahari oleh Helmut Vogel (1979).

Lingkaran biru adalah tempat kamu menghitung. Di sana, halaman mencari spiral yang terlihat oleh mata dan menggambarnya dalam warna kuning: garis penuh untuk keluarga tetangga terdekat, garis putus-putus untuk keluarga lainnya. Spiral diberi nomor di tempatnya melintasi lingkaran.

Tidak ada biji yang terhubung ke biji lain; matalah yang membentuk spiral. Biji $k + m$ telah berputar $m\alpha$ lebih jauh daripada biji $k$. Jika $m\alpha$ mendekati sejumlah putaran penuh, keduanya menunjuk ke arah yang hampir sama. Jika jari-jarinya juga dekat, keduanya bertetangga. Menghubungkan setiap biji ke biji $m$ urutan sesudahnya kemudian membentuk satu keluarga dengan $m$ spiral. Sudut emas adalah

dan pada lingkaran bawaan,

jadi biji yang berjarak 34 urutan dan 55 urutan adalah yang paling dekat, dan mata melihat 34 spiral serta 55 spiral. Keluarga yang putarannya sedikit kurang dari sejumlah putaran penuh melilit ke satu arah saat menuju luar, sedangkan keluarga yang sedikit melebihi jumlah itu melilit ke arah lain.

Mengapa bilangan Fibonacci? Nilai $m$ yang membuat $m\alpha$ paling mendekati putaran penuh dapat dibaca dari pecahan berlanjut α yang dinyatakan sebagai bagian dari satu putaran. Untuk sudut emas, setiap suku setelah 2 adalah 1,

sehingga pendekatan pecahan terbaiknya memiliki penyebut Fibonacci. Pecahan-pecahan itu bergantian berada di atas dan di bawah α/360°, sehingga pada sudut emas kedua keluarga melilit ke arah berlawanan. Pasangan yang terlihat pada lingkaran bergantung pada letak lingkaran itu. Dua biji yang berjarak $m$ urutan sedikit berbeda dalam jari-jari dan arah. Semakin ke luar, perbedaan jari-jari makin kecil perannya, sedangkan perbedaan arah makin besar perannya. Jadi, lebih ke luar, keluarga yang arahnya kembali lebih dekat mengambil alih, meskipun bijinya terpisah lebih jauh dalam urutan, dan jumlah spiral naik satu bilangan Fibonacci setiap kali.

Sudut yang dekat dengan sudut emas bisa menghasilkan gambar yang sangat berbeda, dan pecahan berlanjut menjelaskan alasannya. Suku yang besar menandakan arah yang kembali sangat dekat ke arah semula, sehingga lengan spiral bisa tampak menonjol. Sudut emas, yang suku-sukunya setelah 2 semua bernilai 1, menjaga arah tetap merata. Diagram kecil menunjukkan arah biji-biji pertama pada sebuah lingkaran: berapa pun jumlahnya, celah terpanjang paling besar $\varphi^2 \approx 2.618$ kali celah terpendek.

Tumbuhan tidak mengukur sudut, dan Paling lapang tidak menetapkan sudut. Pucuk yang tumbuh menghasilkan satu primordium setelah yang lain, masing-masing berupa bakal daun atau bunga kecil. Pada 1868, Wilhelm Hofmeister mengamati bahwa primordium baru muncul di ruang terbesar di antara primordium yang lebih tua, yang kemudian menjauh dari pucuk. Paling lapang menjalankan model sederhana dari aturan ini. Dari kondisi awal bawaan, selama primordium lama terdorong jauh ke luar di antara dua kemunculan, setiap primordium baru muncul di seberang yang sebelumnya. Ketika dorongan mengecil, sudut beranjak dari 180°, berayun di sekitar 137,5°, lalu menetap dekat 137,47°, sementara jumlah spiral meningkat mengikuti bilangan Fibonacci. Dari kondisi awal lain, aturan yang sama bisa menetap di nilai lain, misalnya dekat 99,7°.