Tumpukan pasir Abelian

Dalam tumpukan pasir abelian, setiap petak papan berisi h(x) butir. Petak dengan empat butir atau lebih disebut penuh dan boleh runtuh, memberi satu butir kepada masing-masing dari empat tetangganya:

Butir yang dikirim melewati tepi papan masuk ke penampung dan hilang. Papan tanpa petak penuh disebut stabil, dan $h^\circ$ adalah hasil h setelah diruntuhkan sampai stabil. Di sini Anda dapat menuang pasir, meruntuhkannya dalam berbagai urutan, menjumlahkan tumpukan, dan mengamati pola yang ditinggalkan tumpukan besar.

Warna menunjukkan 0, 1, 2, atau 3 butir; petak penuh yang akan runtuh memiliki kontras terkuat. Setiap percobaan berjalan pada dua papan. Pada papan utama, petak penuh runtuh sesuai pilihan Anda: sambil pasir ditambahkan sedikit demi sedikit, secara acak, atau saat Anda mengekliknya. Papan pembanding di bagian atas panel menerima pasir yang sama sekaligus dan meruntuhkan semua petak penuh bersama-sama setiap putaran. Setelah keduanya stabil, halaman membandingkan petak demi petak, baik jumlah butir maupun jumlah keruntuhannya. Keruntuhan mewarnai tiap petak berdasarkan jumlah tersebut.

Mengapa kedua papan selalu sama? Meruntuhkan sebuah petak tidak pernah mengambil butir dari petak lain; hanya menambahkannya kepada tetangga. Jadi, jika dua petak penuh, meruntuhkan salah satunya membiarkan yang lain tetap penuh. Meruntuhkan keduanya dalam urutan mana pun menambahkan dua perubahan yang sama pada papan. Keruntuhan juga berhenti: petak yang runtuh selamanya akan membuat tetangganya terus runtuh juga, hingga ke tepi, sehingga pasir habis mengalir keluar. Kedua hal ini memberikan sifat abelian: setiap urutan keruntuhan yang diteruskan sampai stabil berakhir pada keadaan yang sama, dan tiap petak runtuh sama banyak.

Jika petak x runtuh u(x) kali, petak itu mengirim u(x) butir ke setiap tetangga dan menerima u(y) dari setiap tetangga y, sehingga

dengan h menghitung butir awal ditambah seluruh pasir yang ditambahkan, u = 0 di luar tepi, dan Δ adalah operator Laplace diskret.

Kita tulis $a \oplus b = (a + b)^\circ$: jumlahkan dua tumpukan petak demi petak, lalu runtuhkan sampai stabil. Karena urutan tidak berpengaruh, menuang tumpukan kedua di atas tumpukan yang sudah stabil berakhir sama dengan menuang keduanya sekaligus. Inilah yang ditunjukkan Dua tuangan. Beberapa keadaan stabil terus muncul kembali: suatu keadaan disebut rekuren jika dapat dicapai dari keadaan mana pun dengan menambahkan pasir dan meruntuhkannya. Keadaan rekuren membentuk grup dengan operasi ⊕, dan pilihan awal Identitas menunjukkan elemen identitasnya, e. Menambahkan e pada sembarang keadaan rekuren r menghasilkan r kembali, dan menambahkan e pada dirinya sendiri menghasilkan e.

Keruntuhan tampak sangat berbeda dari butir pasir. Untuk tumpukan yang dituang pada satu petak di bidang kosong, tampilannya berupa bukit halus dengan garis kontur hampir bundar. Di luar petak tempat menuang, h = 0, sehingga rumus di atas menjadi $\Delta u = h^\circ$. Jumlah butir akhir, antara 0 dan 3, mencatat kelengkungan kecil bukit itu dalam bilangan bulat, sedangkan u sendiri mencapai puluhan ribu. Butir membentuk wilayah berpola berulang, dengan pita melengkung di antaranya.

Per Bak, Chao Tang, dan Kurt Wiesenfeld memperkenalkan model ini pada 1987 sebagai contoh kekritisan yang terorganisasi sendiri, dan Deepak Dhar menemukan sifat abeliannya pada 1990.