Абелева песчаная куча

В абелевой песчаной куче каждая клетка доски содержит h(x) песчинок. Клетка с четырьмя или более песчинками полна и может обвалиться, отдав по одной песчинке каждому из четырёх соседей:

Песчинка, отправленная за край доски, попадает в сток и исчезает. Доска без полных клеток устойчива, а $h^\circ$ — это результат обвалов состояния h до устойчивости. Здесь можно насыпать песок, менять порядок обвалов, складывать кучи и наблюдать узор, который оставляет большая куча.

Цвета показывают 0, 1, 2 или 3 песчинки; полной клетке, которая вот-вот обвалится, соответствует самый сильный контраст. Каждый опыт идёт на двух досках. На основной полные клетки обваливаются выбранным вами способом: по мере добавления песка, случайно или по щелчку. Контрольная доска вверху панели получает тот же песок сразу и каждый раунд обваливает все полные клетки одновременно. Когда обе доски устойчивы, страница сравнивает их клетка за клеткой — по числу песчинок и обвалов. Режим Обвалы окрашивает клетки по числу обвалов.

Почему две доски всегда совпадают? Обвал клетки никогда не забирает песок из другой клетки, а только добавляет соседям. Поэтому, когда две клетки полны, обвал одной оставляет другую полной. Если обвалить обе в любом порядке, к доске прибавятся одни и те же два изменения. Обвалы также прекращаются: клетка, которая обваливалась бы бесконечно, заставила бы обваливаться и соседей, вплоть до края, и песок ушёл бы через него. Вместе это даёт абелево свойство: любой порядок обвалов, продолженный до устойчивости, приводит к одному состоянию, и каждая клетка обваливается одинаковое число раз.

Если клетка x обвалилась u(x) раз, она отправила u(x) песчинок каждому соседу и получила u(y) от каждого соседа y, поэтому

где h учитывает начальные песчинки и весь добавленный песок, за краем u = 0, а Δ — дискретный лапласиан.

Обозначим $a \oplus b = (a + b)^\circ$: сложим две кучи клетка за клеткой и обвалим до устойчивости. Поскольку порядок неважен, вторая куча, насыпанная на уже устойчивую, даёт тот же результат, что и обе кучи, насыпанные сразу. Это показывает опыт Два насыпания. Некоторые устойчивые состояния возвращаются снова и снова: состояние называется возвратным, если из любого состояния можно прийти к нему, добавляя песок и обваливая клетки. Возвратные состояния образуют группу относительно ⊕, а начальное состояние Нейтральный элемент показывает её нейтральный элемент e. Прибавление e к любому возвратному состоянию r возвращает r, а прибавление e к самому себе даёт e.

Режим Обвалы совсем не похож на картину песчинок. Если насыпать кучу в одну клетку пустой плоскости, получается гладкий холм с почти круглыми линиями уровня. За пределами клетки, куда насыпали песок, h = 0, поэтому формула выше принимает вид $\Delta u = h^\circ$. Конечные числа песчинок, от 0 до 3, записывают в целых числах крошечные изгибы этого холма, тогда как само u достигает десятков тысяч. Песчинки образуют области с повторяющимися узорами, разделённые изогнутыми полосами.

Пер Бак, Чао Тан и Курт Визенфельд предложили модель в 1987 году как пример самоорганизованной критичности, а Дипак Дхар обнаружил её абелево свойство в 1990 году.