Abel kum yığını

Abelyen kum yığınında tahtanın her hücresinde h(x) tane bulunur. Dört veya daha çok tanesi olan bir hücre doludur ve dört komşusunun her birine bir tane vererek devrilebilir:

Tahtanın kenarını aşan bir tane, yutağa düşer ve kaybolur. Dolu hücresi olmayan tahta kararlıdır; $h^\circ$, h durumunun kararlı olana kadar devrilmesinin sonucudur. Burada kum dökebilir, farklı sıralarda devirebilir, yığınları toplayabilir ve büyük bir yığının bıraktığı deseni izleyebilirsiniz.

Renkler 0, 1, 2 veya 3 taneyi gösterir; devrilmek üzere olan dolu hücre en yüksek karşıtlığa sahiptir. Her deney iki tahtada çalışır. Ana tahtada dolu hücreler seçtiğiniz şekilde devrilir: kum azar azar eklenirken, rastgele veya tıkladığınızda. Panelin üstündeki karşılaştırma tahtası aynı kumu tek seferde alır ve her turda tüm dolu hücreleri birlikte devirir. İkisi de kararlı olduğunda sayfa, tane sayılarını ve her hücrenin kaç kez devrildiğini hücre hücre karşılaştırır. Devrilmeler her hücreyi bu sayıya göre renklendirir.

İki tahta neden her zaman aynı olur? Bir hücrenin devrilmesi başka bir hücreden tane almaz; yalnızca komşularına ekler. Bu yüzden iki hücre doluyken birini devirmek diğerini dolu bırakır. İkisini hangi sırayla devirirseniz devirin, tahtaya aynı iki değişim eklenir. Devrilmeler de mutlaka durur: bir hücre sonsuza kadar devrilseydi komşuları da devrilmek zorunda kalır, bu etki kenara kadar yayılır ve kum dışarı akıp tükenirdi. Bu iki olgu abelyen özelliği verir: kararlı olana kadar sürdürülen her devrilme sırası aynı durumda sona erer ve her hücre aynı sayıda devrilir.

x hücresi u(x) kez devrildiyse her komşusuna u(x) tane göndermiş ve her y komşusundan u(y) tane almıştır. Dolayısıyla

burada h, başlangıçtaki tanelerle eklenen tüm kumu sayar; kenarın dışında u = 0 alınır ve Δ ayrık Laplace operatörüdür.

$a \oplus b = (a + b)^\circ$ yazalım: iki yığını hücre hücre toplayıp kararlı olana kadar deviririz. Sıra önemli olmadığından, kararlı bir yığının üzerine ikinci bir yığın dökmek ikisini aynı anda dökmekle aynı sonucu verir. İki döküş bunu gösterir. Bazı kararlı durumlar tekrar tekrar ortaya çıkar: kum ekleyip devirerek her durumdan ulaşılabilen bir duruma tekrarlayan durum denir. Tekrarlayan durumlar ⊕ altında bir grup oluşturur; Birim eleman başlangıcı bu grubun birim elemanı e’yi gösterir. Herhangi bir tekrarlayan r durumuna e eklemek yine r’yi, e’yi kendisine eklemek ise e’yi verir.

Devrilmeler görünümü, tanelerin görünümüne hiç benzemez. Boş düzlemin tek bir hücresine dökülen yığın için, neredeyse dairesel eş yükselti eğrileri olan düzgün bir tepe oluşturur. Kum dökülen hücrenin dışında h = 0 olduğundan yukarıdaki formül $\Delta u = h^\circ$ olur. Son tane sayıları 0 ile 3 arasındadır ve tepenin çok küçük eğriliklerini tam sayılarla kaydeder; oysa u’nun kendisi on binlere ulaşır. Taneler, aralarında kıvrımlı şeritler bulunan, desenleri tekrarlayan bölgeler oluşturur.

Per Bak, Chao Tang ve Kurt Wiesenfeld modeli 1987’de kendiliğinden örgütlenen kritikliğe bir örnek olarak ortaya koydu; Deepak Dhar ise 1990’da modelin abelyen özelliğini buldu.