Abelsches Sandhaufenmodell

Beim abelschen Sandhaufen enthält jedes Feld des Bretts h(x) Körner. Ein Feld mit mindestens vier Körnern ist voll und darf umkippen: Dabei gibt es an jeden seiner vier Nachbarn ein Korn ab.

Ein Korn, das über den Brettrand gelangt, fällt in die Senke und verschwindet. Ein Brett ohne volles Feld ist stabil. $h^\circ$ bezeichnet den Zustand, der aus h durch Umkippen bis zur Stabilität entsteht. Hier kannst du Sand einfüllen, Felder in unterschiedlicher Reihenfolge umkippen, Haufen addieren und das Muster beobachten, das ein großer Haufen hinterlässt.

Die Farben zeigen 0, 1, 2 oder 3 Körner; ein volles Feld, das gleich umkippt, hat den stärksten Kontrast. Jedes Experiment läuft auf zwei Brettern. Auf dem Hauptbrett kippen volle Felder so um, wie du es wählst: während Sand nach und nach hinzukommt, zufällig oder auf deinen Klick. Das Vergleichsbrett oben im Bedienfeld erhält denselben Sand auf einmal und kippt in jeder Runde alle vollen Felder gleichzeitig um. Sind beide stabil, vergleicht die Seite Feld für Feld die Kornzahlen und die Anzahl der Umkippvorgänge. Umkippvorgänge färbt jedes Feld nach dieser Anzahl.

Warum stimmen die beiden Bretter immer überein? Das Umkippen eines Feldes nimmt keinem anderen Feld Körner weg; es fügt nur den Nachbarn welche hinzu. Sind zwei Felder voll, bleibt nach dem Umkippen des einen auch das andere voll. Kippt man beide um, werden dem Brett in jeder Reihenfolge dieselben zwei Änderungen hinzugefügt. Außerdem hört das Umkippen auf: Würde ein Feld endlos umkippen, müssten auch seine Nachbarn endlos umkippen, bis zum Rand hin, und der Sand würde abfließen. Zusammen ergibt das die abelsche Eigenschaft: Jede Reihenfolge, die bis zur Stabilität fortgesetzt wird, führt zum selben Zustand, und jedes Feld kippt gleich oft um.

Ist Feld x insgesamt u(x)-mal umgekippt, hat es jedem Nachbarn u(x) Körner gegeben und von jedem Nachbarn y jeweils u(y) Körner erhalten. Also gilt

Dabei zählt h die anfänglichen Körner plus allen hinzugefügten Sand, außerhalb des Randes ist u = 0, und Δ ist der diskrete Laplace-Operator.

Wir schreiben $a \oplus b = (a + b)^\circ$: zwei Haufen Feld für Feld addieren und dann bis zur Stabilität umkippen. Da die Reihenfolge keine Rolle spielt, führt ein zweiter Haufen auf einem bereits stabilen Haufen zum selben Ergebnis wie das gleichzeitige Einfüllen beider. Das zeigt Zweimal einfüllen. Manche stabilen Zustände kehren immer wieder: Ein Zustand heißt rekurrent, wenn er sich von jedem Zustand aus durch Hinzufügen von Sand und Umkippen erreichen lässt. Die rekurrenten Zustände bilden unter ⊕ eine Gruppe. Der Start Neutrales Element zeigt deren neutrales Element e. Addiert man e zu einem beliebigen rekurrenten Zustand r, erhält man wieder r; addiert man e zu sich selbst, erhält man e.

Umkippvorgänge sieht ganz anders aus als die Kornzahlen. Wird ein Haufen auf ein Feld der leeren Ebene geschüttet, entsteht in dieser Ansicht ein glatter Hügel mit nahezu kreisförmigen Höhenlinien. Abseits des Einfüllfeldes gilt h = 0, sodass die obige Formel zu $\Delta u = h^\circ$ wird. Die endgültigen Kornzahlen zwischen 0 und 3 halten die winzige Krümmung dieses Hügels in ganzen Zahlen fest, während u selbst Zehntausende erreicht. Die Körner bilden Bereiche mit sich wiederholenden Mustern und gekrümmten Bändern dazwischen.

Per Bak, Chao Tang und Kurt Wiesenfeld führten das Modell 1987 als Beispiel für selbstorganisierte Kritikalität ein. Deepak Dhar entdeckte 1990 seine abelsche Eigenschaft.