Chaosspiel

Bei jedem Wurf im Chaosspiel wird einer der Punkte $v_1, \dots, v_N$ zufällig gewählt. Der bewegte Punkt legt den Anteil r der Strecke zu ihm zurück. Anders gesagt: Es wird eine der folgenden Abbildungen angewendet.

Diese verkleinern die Ebene um den Faktor s auf $v_i$ zu. Drache und Farn verwenden stattdessen affine Abbildungen $f_i(x) = A_i x + b_i$. Hier kannst du die Punkte verschieben, r einstellen, den nächsten Wurf einschränken und die Wahrscheinlichkeiten ändern — und sehen, welche Bilder die Würfel zeichnen.

Das Bild zählt Landepunkte: Je mehr auf einem Pixel landen, desto kräftiger seine Farbe. Mit der Einstellung „Letztem Wurf“ bestimmt der zuletzt gewählte Punkt oder die zuletzt gewählte Abbildung die Farbe, mit „Vorletztem Wurf“ die Wahl davor. Wo sich Farben mischen, liegen verschiedenfarbige Landepunkte im selben Pixel.

Warum zeichnet jedes Spiel dasselbe Bild? Betrachten wir zunächst Würfe ohne Gedächtnis. Jede Abbildung verkürzt Abstände. Zwei Punkte, die derselben Wurffolge folgen, nähern sich deshalb einander. Es gibt genau eine nichtleere kompakte Menge K, die aus ihren eigenen Kopien besteht:

Ein Punkt in K bleibt bei jedem Wurf in K. Daher geht der Abstand des Spielpunkts zu K gegen null, und der Einfluss des Startpunkts verschwindet.

Die letzten k Würfe bringen den Punkt in die Nähe einer kleinen Kopie von K. Frühere Würfe entscheiden nur, wo genau er sich dort befindet. Deshalb zeigt die Einstellung „Letztem Wurf“ die N Kopien und „Vorletztem Wurf“ die $N^2$ kleineren Kopien, jede eine Kopie des Ganzen. Hat jede Abbildung eine positive Wahrscheinlichkeit, tritt fast sicher jede endliche Wurffolge irgendwann auf. So kommen die Punkte jedem Teil von K nahe. Die Kopiermaschine braucht gar keine Würfel: Sie verkleinert eine ganze Form zu N Kopien und wiederholt das. Ob sie mit dem umschließenden Umriss oder einem Hasen beginnt, sie nähert sich demselben K. Am Hasen erkennt man Drehungen und Spiegelungen.

Wenn die konvexe Hülle der Punkte ein Vieleck ist und ihre N Kopien einander höchstens an den Rändern berühren, hat das Bild die Dimension

Für das Dreieck mit r = 1/2 gilt $D = \log 3/\log 2 \approx 1.585$, für den Teppich mit r = 2/3 gilt $\log 8/\log 3 \approx 1.893$. Überlappen die Kopien, ist diese Zahl nur eine obere Schranke, und die Seite gibt keine Dimension an. Bedecken sie das ganze Vieleck, besteht dieses aus seinen eigenen Kopien. Wegen der Eindeutigkeit ist es dann selbst das gesuchte Bild: eine ausgefüllte Fläche.

Bei Keine Wiederholungen oder Keine Nachbarn hängt der nächste Wurf vom letzten ab. Nachbarschaft richtet sich nach der Nummerierung der Punkte, die beim Ziehen unverändert bleibt. Das Bild zerfällt nun nach dem letzten Wurf in Teile. Jeder ist eine Kopie der Teile, die unmittelbar davor erlaubt waren. Eine Einschränkung kann also die Form selbst verändern: Bei r = 1/2 ist das Quadrat ohne Wiederholungen nicht mehr ausgefüllt, sondern ein Fraktal der Dimension $\log 3/\log 2$.

Solange jede Abbildung eine positive Wahrscheinlichkeit hat, ändern die Wahrscheinlichkeiten K nicht. Sie bestimmen nur, wie sich die Landepunkte darauf verteilen. Der Farn wird mit der Einstellung „Nach Fläche“ gezeichnet. Mit „Gleich“ bleibt die Blattform erhalten; lediglich auf dem Stiel landen mehr Punkte und an den Spitzen weniger.

Michael Barnsleys Buch Fractals Everywhere (1988) machte das Zeichnen solcher Bilder mit zufälligen Würfen unter dem Namen Chaosspiel weithin bekannt.