混沌游戏

混沌游戏每掷一次，就让点从当前位置向随机选出的一个顶点$v_1, \dots, v_N$走全程的r。换句话说，每一掷都用一次映射

它把平面朝$v_i$缩成s倍。龙和蕨叶用的则是仿射映射$f_i(x) = A_i x + b_i$。在这一页，你可以移动顶点、调r、限制下一掷、改各映射的机会，看骰子能画出哪些图形。

画面数的是落点：一个像素里落下的点越多，颜色就越浓。“最后一次”按每个落点最后一次掷到的顶点或映射上色，“前一次”按再前一次。颜色混在一起的地方，是不同颜色的落点落进了同一个像素。

为什么每一局都画出同一个图形？先看没有记忆的掷法。每个映射都会缩短距离，所以按同一串掷法走的两个点越来越近。恰好有一个非空紧集K由它自己的副本组成：

K上的点不论掷到什么都还在K上，所以这一局的点到K的距离趋于零，起点就被忘掉了。

最近k掷把点带到K的某个小副本附近，更早的掷只决定它在这一份附近的哪里。所以“最后一次”显出N份，“前一次”显出$N^2$个更小的份，每一份都是整幅图经过映射得到的副本。只要每个映射都有机会，几乎必然地，任何一串有限的掷法迟早都会出现，点也就会靠近K的每一处。复印机根本不用骰子：它把整个图形缩成N份放好，再重复；从包住图形的外形或兔子出发，都会逼近同一个K。兔子看得出映射有没有转、有没有翻。

顶点的凸包是多边形，且它的N份至多沿边相接、内部互不重叠时，图形的维数是

r = 1/2的三角形$D = \log 3/\log 2 \approx 1.585$，r = 2/3的地毯是$\log 8/\log 3 \approx 1.893$。各份重叠时，这个数只是上界，页面不给维数。各份盖满整个多边形时，多边形本身就由它的副本组成，由唯一性，它就是图形：实心的。

选“不连续同一个”或“不选相邻”时，下一掷取决于上一掷。相邻按顶点的编号算，拖动顶点不会重新编号。图形要按最后一次分成几块，每一块是允许接在它前面的那几块的副本。所以限制会改变形状本身：r = 1/2时，不连续同一个的正方形不再是实心的，而是维数$\log 3/\log 2$的分形。

只要每个映射都有机会，K就与概率无关。概率只决定落点在K上怎样分布。蕨叶用“按面积权重”来画；改成“均等”，叶子形状不变，只是茎上的点多了，叶尖的点少了。

Barnsley的《Fractals Everywhere》（1988）让用随机掷点画出这类图形的办法以“混沌游戏”之名广为人知。