Juego del caos

En cada tirada del juego del caos, un punto recorre una fracción r de la distancia que lo separa de uno de los puntos $v_1, \dots, v_N$, elegido al azar. Es decir, se aplica una de estas transformaciones:

Estas reducen el plano por un factor s hacia $v_i$. El dragón y el helecho usan, en cambio, aplicaciones afines $f_i(x) = A_i x + b_i$. Aquí puedes mover los puntos, ajustar r, restringir la siguiente tirada y cambiar las probabilidades para ver qué dibujos trazan los dados.

El dibujo cuenta dónde caen los puntos: cuantos más caen en un píxel, más intenso es su color. Última tirada colorea cada punto según el vértice o la aplicación elegidos en la última tirada, y Tirada anterior según la elección precedente. Donde se mezclan colores, puntos de colores distintos comparten un píxel.

¿Por qué cada partida dibuja la misma figura? Consideremos primero tiradas sin memoria. Cada aplicación acorta las distancias, así que dos puntos que siguen las mismas tiradas se acercan. Existe exactamente un conjunto compacto no vacío K formado por sus propias copias:

Un punto de K permanece en K salga lo que salga. Por eso, la distancia del punto de la partida a K tiende a cero y el punto inicial deja de importar.

Las últimas k tiradas llevan el punto cerca de una pequeña copia de K; las anteriores solo deciden dónde queda dentro de esa zona. Por eso, Última tirada muestra las N copias y Tirada anterior las $N^2$ copias más pequeñas, cada una copia del conjunto. Si toda aplicación tiene una probabilidad positiva, casi seguramente toda secuencia finita de tiradas aparece tarde o temprano, y los puntos se acercan a cada parte de K. La copiadora no necesita dados: reduce una figura entera a N copias y repite el proceso. Tanto si parte del contorno que encierra la figura como de un conejo, se acerca al mismo K. El conejo permite ver los giros y las reflexiones.

Cuando la envolvente convexa de los puntos es un polígono y sus N copias solo se tocan, como mucho, por los bordes, la dimensión del dibujo es

El triángulo con r = 1/2 tiene $D = \log 3/\log 2 \approx 1.585$, y la alfombra con r = 2/3 tiene $\log 8/\log 3 \approx 1.893$. Cuando las copias se solapan, ese número es solo una cota superior y la página no indica una dimensión. Si cubren todo el polígono, el propio polígono está formado por sus copias. Por unicidad, ese es el dibujo: un polígono macizo.

Con Sin repeticiones o Sin vecinos, la siguiente tirada depende de la última. La vecindad se determina por la numeración de los puntos, que no cambia al arrastrarlos. El dibujo se divide entonces según la última tirada; cada parte es una copia de las partes permitidas justo antes. Así, una restricción puede cambiar la forma misma: con r = 1/2, un cuadrado sin repeticiones deja de ser macizo y se convierte en un fractal de dimensión $\log 3/\log 2$.

Mientras toda aplicación tenga alguna posibilidad de salir, las probabilidades no cambian K. Solo determinan cómo se distribuyen los puntos sobre él. El helecho se dibuja Por área. Con probabilidades Iguales, la hoja conserva su forma; solo hay más puntos en el tallo y menos en las puntas.

El libro de Michael Barnsley Fractals Everywhere (1988) popularizó esta forma de dibujar mediante tiradas aleatorias con el nombre de juego del caos.