カオスゲーム

カオスゲームでは、サイコロを振るたびに$v_1, \dots, v_N$の中から点をランダムに1つ選び、その点までの距離のr倍だけ近づきます。つまり、次の写像のいずれかを適用します。

これらは平面を$v_i$に向かってs倍に縮小する写像です。ドラゴンとシダでは、代わりにアフィン写像$f_i(x) = A_i x + b_i$を使います。点を動かし、rを調整し、次の出目を制限したり確率を変えたりして、サイコロがどんな図形を描くか見てみましょう。

図は着地点を数えています。1つの画素に着地する点が多いほど、色が濃くなります。最後の出目は最後に選ばれた点や写像で、1つ前の出目はその前の選択で色を付けます。色が混じる場所では、異なる色の着地点が同じ画素を共有しています。

なぜ毎回同じ図形になるのでしょうか。まず、過去の出目に依存しない場合を考えます。どの写像も距離を縮めるので、同じ出目の列に従う2点は近づきます。自分自身のコピーからなる空でないコンパクト集合Kが、ただ1つ存在します。

Kの中の点はどの出目でもKの中にとどまります。そのため、ゲームの点からKまでの距離は0に近づき、出発点の影響は消えていきます。

直近k回の出目は点をKの小さなコピーの近くへ運び、それ以前の出目は、その近くのどこに来るかだけを決めます。したがって、最後の出目ではN個のコピーが、1つ前の出目ではさらに小さい$N^2$個のコピーが見えます。どれも全体のコピーです。どの写像も選ばれる確率が正なら、有限の出目の列はどれもほとんど確実にいつか現れ、点はKのどの部分にも近づきます。コピー機にサイコロは要りません。図形全体を縮小したN個のコピーを作り、これを繰り返します。図形を包む外形からでもウサギからでも、同じKに近づきます。ウサギなら写像による回転や反転が分かります。

点の凸包が多角形で、そのN個のコピーが重なるとしても境界だけで、内部では重ならないとき、図形の次元は

r=1/2の三角形では$D = \log 3/\log 2 \approx 1.585$、r=2/3のカーペットでは$\log 8/\log 3 \approx 1.893$です。コピーが重なると、この数は上界にすぎず、ページは次元を示しません。コピーが多角形全体を覆うなら、その多角形は自分自身のコピーからできています。一意性により、それが求める図形であり、中まで埋まります。

連続同一点なしや隣接点なしでは、次の出目が直前の出目に依存します。隣接関係は点の番号で決まり、ドラッグしても変わりません。図形は最後の出目ごとに分かれ、それぞれは直前に許される部分を合わせたもののコピーになります。制限は図形そのものを変えるのです。r=1/2で同じ点を連続して選ばない正方形は、中が埋まらず、次元$\log 3/\log 2$のフラクタルになります。

どの写像も選ばれる確率が正なら、確率を変えてもKは変わりません。変わるのはK上の着地点の分布だけです。シダは面積に応じて描かれます。確率を均等にしても葉の形は同じで、茎の点が増え、先端の点が減るだけです。

マイケル・バーンズリーの著書Fractals Everywhere（1988年）は、ランダムな出目でこうした図を描く方法を、カオスゲームという名前で広めました。