혼돈 게임

카오스 게임은 추첨할 때마다 $v_1, \dots, v_N$ 중 한 점을 무작위로 골라, 그 점까지 거리의 r만큼 현재 점을 움직입니다. 즉, 다음 사상 중 하나를 적용합니다.

이 사상들은 평면을 $v_i$ 쪽으로 s배 축소합니다. 드래곤과 고사리는 대신 아핀 사상 $f_i(x) = A_i x + b_i$을 사용합니다. 점을 옮기고 r을 조절하며 다음 추첨을 제한하거나 확률을 바꾸어, 주사위가 어떤 그림을 그리는지 볼 수 있습니다.

그림은 도착한 점을 셉니다. 한 픽셀에 도착한 점이 많을수록 색이 진해집니다. 마지막 추첨은 마지막으로 선택한 점이나 사상에 따라, 그 이전 추첨은 그보다 한 번 전의 선택에 따라 색을 칠합니다. 색이 섞인 곳은 서로 다른 색의 도착점이 같은 픽셀에 들어간 곳입니다.

왜 매번 같은 그림이 나올까요? 먼저 이전 결과를 기억하지 않는 추첨을 봅시다. 모든 사상이 거리를 줄이므로 같은 추첨 순서를 따르는 두 점은 가까워집니다. 자신의 사본들로 이루어진 공집합이 아닌 콤팩트 집합 K가 정확히 하나 있습니다.

K 안의 점은 무엇을 뽑아도 K 안에 남습니다. 따라서 게임 속 점에서 K까지의 거리는 0으로 다가가고, 시작점의 영향은 사라집니다.

최근 k번의 추첨이 점을 K의 작은 사본 하나 근처로 데려갑니다. 그보다 앞선 추첨은 그 근처의 어디에 놓일지만 결정합니다. 그래서 마지막 추첨은 사본 N개를, 그 이전 추첨은 더 작은 사본 $N^2$개를 보여 줍니다. 각각은 전체의 사본입니다. 모든 사상에 선택될 가능성이 있으면 유한한 추첨 순서는 무엇이든 거의 확실하게 언젠가 나타나므로, 점은 K의 모든 부분에 가까이 갑니다. 복사기는 주사위가 전혀 필요 없습니다. 도형 전체를 N개의 사본으로 축소하고 반복합니다. 그림을 감싸는 외곽 도형에서 시작하든 토끼에서 시작하든 같은 K로 다가갑니다. 토끼를 보면 사상이 회전하거나 뒤집는지 알 수 있습니다.

점들의 볼록 껍질이 다각형이고 그 사본 N개가 기껏해야 변에서만 맞닿을 때, 그림의 차원은

r = 1/2인 삼각형에서는 $D = \log 3/\log 2 \approx 1.585$, r = 2/3인 카펫에서는 $\log 8/\log 3 \approx 1.893$입니다. 사본이 겹치면 이 수는 상한일 뿐이므로 페이지에 차원을 표시하지 않습니다. 사본이 다각형 전체를 덮으면 다각형 자체가 자신의 사본들로 이루어집니다. 유일성에 의해 이것이 바로 최종 그림이며, 속이 꽉 차 있습니다.

연속 반복 금지나 이웃 금지에서는 다음 추첨이 직전 추첨에 달려 있습니다. 이웃은 점의 번호로 정하며, 드래그해도 번호는 바뀌지 않습니다. 그림은 마지막 추첨에 따라 여러 조각으로 나뉘고, 각 조각은 바로 전에 허용되는 조각들을 합친 도형의 사본입니다. 따라서 제한을 두면 모양 자체가 달라질 수 있습니다. r = 1/2에서 연속 반복을 금지한 정사각형은 더 이상 속이 차 있지 않고, 차원이 $\log 3/\log 2$인 프랙털이 됩니다.

모든 사상에 선택될 가능성이 있는 한, 확률은 K를 바꾸지 않습니다. K 위에 도착점이 어떻게 분포할지만 결정합니다. 고사리는 넓이 기준으로 그립니다. 확률을 동일하게 해도 잎 모양은 그대로이고, 줄기의 점은 많아지며 끝부분의 점은 줄어들 뿐입니다.

마이클 반즐리의 저서 Fractals Everywhere(1988)는 무작위 추첨으로 이런 그림을 그리는 방법을 카오스 게임이라는 이름으로 널리 알렸습니다.