Permainan chaos

Setiap lemparan dalam permainan chaos memilih salah satu titik $v_1, \dots, v_N$ secara acak, lalu menggerakkan titik sejauh r kali jaraknya ke titik yang dipilih. Dengan kata lain, lemparan itu menerapkan salah satu pemetaan

yang memperkecil bidang dengan faktor s menuju $v_i$. Naga dan pakis menggunakan pemetaan afin $f_i(x) = A_i x + b_i$ sebagai gantinya. Di sini Anda dapat menggeser titik, mengatur r, membatasi lemparan berikutnya, dan mengubah peluang untuk melihat gambar apa yang dihasilkan dadu.

Gambar ini menghitung pendaratan: semakin banyak titik yang mendarat di sebuah piksel, semakin pekat warnanya. Lemparan terakhir mewarnai setiap pendaratan menurut titik atau pemetaan yang dipilih pada lemparan terakhir, sedangkan Lemparan sebelumnya memakai lemparan satu langkah sebelumnya. Warna bercampur ketika titik-titik dengan warna berbeda mendarat di piksel yang sama.

Mengapa setiap permainan menghasilkan gambar yang sama? Kita mulai dari lemparan tanpa ingatan. Setiap pemetaan memperpendek jarak, sehingga dua titik yang mengikuti urutan lemparan yang sama akan saling mendekat. Ada tepat satu himpunan kompak tak kosong K yang tersusun dari salinan-salinan dirinya sendiri,

Titik di dalam K tetap berada di K apa pun hasil lemparannya. Karena itu, jarak titik permainan ke K menuju nol, dan posisi awal pun terlupakan.

Sebanyak k lemparan terakhir menempatkan titik di dekat salah satu salinan kecil K; lemparan yang lebih awal hanya menentukan posisi tepatnya di sekitar salinan itu. Jadi, Lemparan terakhir menunjukkan N salinan, dan Lemparan sebelumnya menunjukkan $N^2$ salinan yang lebih kecil, masing-masing merupakan salinan keseluruhan. Jika setiap pemetaan memiliki peluang positif, hampir pasti setiap urutan lemparan berhingga akan muncul cepat atau lambat, sehingga titik-titik mendekati setiap bagian K. Mesin penyalin sama sekali tidak membutuhkan dadu. Mesin ini memperkecil sebuah bentuk utuh menjadi N salinan, lalu mengulanginya. Baik dimulai dari garis luar yang melingkupi gambar maupun dari kelinci, hasilnya mendekati K yang sama. Kelinci memperlihatkan apakah suatu pemetaan memutar atau mencerminkan bentuk.

Jika selubung cembung titik-titik itu berupa poligon dan N salinannya hanya mungkin bersentuhan di batasnya, dimensi gambar adalah

Segitiga pada r = 1/2 memiliki $D = \log 3/\log 2 \approx 1.585$, sedangkan karpet pada r = 2/3 memiliki $\log 8/\log 3 \approx 1.893$. Ketika salinan saling tumpang tindih, angka ini hanyalah batas atas, dan halaman ini tidak menampilkan dimensi. Ketika salinan menutupi seluruh poligon, poligon itu tersusun dari salinan dirinya sendiri. Karena keunikannya, poligon itulah gambar yang dihasilkan: terisi penuh.

Dengan Tanpa pengulangan atau Tanpa tetangga, lemparan berikutnya bergantung pada lemparan terakhir. Tetangga ditentukan oleh penomoran titik, yang tidak berubah saat titik diseret. Gambar kemudian terbagi menurut lemparan terakhir menjadi bagian-bagian; setiap bagian merupakan salinan gabungan bagian yang diizinkan tepat sebelumnya. Jadi, pembatasan bisa mengubah bentuk itu sendiri: pada r = 1/2, persegi tanpa pengulangan tidak lagi terisi penuh, melainkan menjadi fraktal berdimensi $\log 3/\log 2$.

Selama setiap pemetaan memiliki peluang positif, peluang tidak mengubah K. Peluang hanya menentukan sebaran pendaratan di atasnya. Pakis digambar dengan pilihan Menurut luas. Dengan peluang Sama, bentuk daun tetap sama, tetapi tangkai mendapat lebih banyak titik dan ujung-ujungnya lebih sedikit.

Buku Michael Barnsley, Fractals Everywhere (1988), memopulerkan cara menggambar bentuk-bentuk ini melalui lemparan acak dengan nama permainan chaos.