Kaos oyunu

Kaos oyununda her zar atışı, $v_1, \dots, v_N$ noktalarından birini rastgele seçer ve hareketli noktayı ona olan uzaklığının r katı kadar yaklaştırır. Başka bir deyişle şu dönüşümlerden birini uygular:

Bu dönüşümler düzlemi $v_i$ noktasına doğru s katsayısıyla küçültür. Ejderha ve eğrelti otu ise $f_i(x) = A_i x + b_i$ afin dönüşümlerini kullanır. Burada noktaları taşıyabilir, r değerini ayarlayabilir, bir sonraki atışı kısıtlayabilir ve olasılıkları değiştirerek zarın hangi şekilleri çizdiğini görebilirsiniz.

Resim, noktaların düştüğü yerleri sayar: bir piksele ne kadar çok nokta düşerse rengi o kadar yoğunlaşır. Son atış, her düşüşü son atışta seçilen noktaya veya dönüşüme göre; Önceki atış ise ondan bir önceki atışa göre renklendirir. Renklerin karıştığı yerlerde farklı renklerdeki noktalar aynı piksele düşmüştür.

Neden her oyun aynı resmi çizer? Önce belleksiz atışları ele alalım. Her dönüşüm uzaklıkları küçültür; dolayısıyla aynı atış dizisini izleyen iki nokta birbirine yaklaşır. Kendi kopyalarından oluşan, boş olmayan yalnızca bir kompakt K kümesi vardır:

K içindeki bir nokta, atış ne olursa olsun K içinde kalır. Böylece oyundaki noktanın K kümesine uzaklığı sıfıra yaklaşır ve başlangıç konumu unutulur.

Son k atış, noktayı K kümesinin küçük bir kopyasının yakınına getirir; daha önceki atışlar yalnızca bu kopyanın yakınında tam olarak nerede olacağını belirler. Bu yüzden Son atış N kopyayı, Önceki atış ise daha küçük $N^2$ kopyayı gösterir; her biri bütünün bir kopyasıdır. Her dönüşümün seçilme olasılığı pozitifse, her sonlu atış dizisi er ya da geç hemen hemen kesin olarak ortaya çıkar; böylece noktalar K kümesinin her bölümüne yaklaşır. Kopyalama makinesinin ise hiç zara ihtiyacı yoktur. Şeklin bütününü N kopyaya küçültür ve bunu tekrarlar. İster çevreleyen dış hatla ister tavşanla başlasın, aynı K kümesine yaklaşır. Tavşan, bir dönüşümün döndürme mi yoksa yansıma mı yaptığını gösterir.

Noktaların konveks örtüsü bir çokgense ve bunun N kopyası en fazla sınırları boyunca birbirine değiyorsa, resmin boyutu şudur:

r = 1/2 için üçgenin boyutu $D = \log 3/\log 2 \approx 1.585$, r = 2/3 için halının boyutu ise $\log 8/\log 3 \approx 1.893$ olur. Kopyalar örtüştüğünde bu sayı yalnızca bir üst sınırdır ve sayfa boyut değeri göstermez. Kopyalar çokgenin tamamını kapladığında ise çokgen kendi kopyalarından oluşur; tekliğe göre resmin kendisi bu çokgendir: içi doludur.

Tekrar yok veya Komşular yok seçildiğinde bir sonraki atış son atışa bağlıdır. Komşuluk, noktaların numaralarına göre belirlenir; noktaları sürüklemek numaralarını değiştirmez. Bu durumda resim, son atışa göre parçalara ayrılır; her parça, hemen öncesinde izin verilen parçaların birlikte oluşturduğu şeklin bir kopyasıdır. Yani bir kısıtlama şeklin kendisini değiştirebilir: r = 1/2 için tekrarsız kare artık içi dolu değildir, boyutu $\log 3/\log 2$ olan bir fraktaldır.

Her dönüşümün seçilme olasılığı pozitif kaldığı sürece olasılıklar K kümesini değiştirmez. Yalnızca noktaların onun üzerinde nasıl dağıldığını belirler. Eğrelti otu Alana göre seçeneğiyle çizilir. Eşit olasılıklar seçildiğinde yaprak aynı şeklini korur, ancak sapa daha çok, uçlara daha az nokta düşer.

Michael Barnsley’nin Fractals Everywhere (1988) kitabı, bu resimleri rastgele zar atışlarıyla çizme yöntemini kaos oyunu adıyla yaygınlaştırdı.