لعبة الفوضى

في كل رمية من لعبة الفوضى، تُختار عشوائيًا إحدى النقاط ⁦$v_1, \dots, v_N$⁩، وتتحرك النقطة الحالية نحوها بمقدار يساوي الكسر ⁦r⁩ من المسافة إليها. بعبارة أخرى، يُطبَّق أحد التحويلات

التي تصغّر المستوى بمعامل ⁦s⁩ نحو ⁦$v_i$⁩. أما التنين والسرخس فيستخدمان التحويلات التآلفية ⁦$f_i(x) = A_i x + b_i$⁩ بدلًا من ذلك. يمكنك هنا تحريك النقاط، وضبط ⁦r⁩، وتقييد الرمية التالية، وتغيير الاحتمالات، لترى الرسوم التي يرسمها النرد.

الرسم يحصي مواضع هبوط النقاط: كلما حطّت نقاط أكثر في بكسل، اشتد لونه. يلوّن خيار الرمية الأخيرة كل نقطة بحسب النقطة أو التحويل الذي اختارته رميتها الأخيرة، ويستخدم خيار الرمية السابقة الرمية التي سبقتها. وحيث تمتزج الألوان، تكون نقاط ذات ألوان مختلفة قد حطّت في البكسل نفسه.

لماذا ترسم كل لعبة الصورة نفسها؟ لنبدأ برميات بلا ذاكرة. كل تحويل يقلّص المسافات، لذا تتقارب نقطتان تتبعان الرميات نفسها. توجد مجموعة مدمجة غير خالية واحدة فقط، ⁦K⁩، تتكوّن من نسخها نفسها،

تبقى أي نقطة من ⁦K⁩ داخل ⁦K⁩ مهما كانت نتيجة الرمية، فتؤول المسافة بين نقطة اللعبة و⁦K⁩ إلى الصفر، ويزول أثر البداية.

تضع الرميات الأخيرة، وعددها ⁦k⁩، النقطة قرب نسخة صغيرة من ⁦K⁩؛ ولا تحدد الرميات الأقدم إلا موضعها الدقيق قرب تلك النسخة. لذلك يُظهر خيار الرمية الأخيرة النسخ البالغ عددها ⁦N⁩، ويُظهر خيار الرمية السابقة النسخ الأصغر البالغ عددها ⁦$N^2$⁩، وكل منها نسخة من الكل. إذا كان لكل تحويل احتمال موجب، فباحتمال واحد ستظهر كل سلسلة منتهية من الرميات عاجلًا أو آجلًا، فتقترب النقاط من كل جزء من ⁦K⁩. أما آلة النسخ فلا تحتاج إلى النرد أصلًا. تصغّر شكلًا كاملًا إلى ⁦N⁩ نسخة وتكرر العملية؛ وسواء بدأت بالمحيط الخارجي الذي يحيط بالرسم أو بالأرنب، فإنها تقترب من ⁦K⁩ نفسها. ويُظهر الأرنب ما إذا كان التحويل يدير الشكل أو يعكسه.

إذا كان الغلاف المحدب للنقاط مضلعًا، وكانت نسخه البالغ عددها ⁦N⁩ لا تتلاقى إلا على حدودها على الأكثر، فإن بُعد الرسم يساوي

للمثلث عند ⁦r = 1/2⁩ بُعد يساوي ⁦$D = \log 3/\log 2 \approx 1.585$⁩، وللسجادة عند ⁦r = 2/3⁩ بُعد يساوي ⁦$\log 8/\log 3 \approx 1.893$⁩. حين تتداخل النسخ، لا يكون هذا العدد إلا حدًا أعلى، ولا تعرض الصفحة قيمة للبُعد. وحين تغطي النسخ المضلع كله، يكون المضلع مكوّنًا من نسخه نفسها؛ وبفضل التفرد، يكون هو الرسم: ممتلئًا.

مع خيار بلا تكرار أو بلا جيران، تعتمد الرمية التالية على الأخيرة. ويتحدد التجاور بحسب ترقيم النقاط، وهو لا يتغير عند سحبها. عندئذ ينقسم الرسم بحسب الرمية الأخيرة إلى أجزاء، كل منها نسخة من مجموع الأجزاء المسموح بها قبله مباشرة. لذلك قد يغيّر القيد الشكل نفسه: عند ⁦r = 1/2⁩، لا يعود المربع بلا تكرار ممتلئًا، بل يصبح شكلًا كسيريًا بُعده ⁦$\log 3/\log 2$⁩.

ما دام لكل تحويل احتمال موجب، فإن الاحتمالات لا تغيّر ⁦K⁩. إنها تحدد فقط كيفية توزع مواضع الهبوط عليها. يُرسم السرخس بخيار بحسب المساحة. ومع احتمالات متساوية، تحتفظ الورقة بشكلها، لكن الساق تستقبل نقاطًا أكثر والأطراف نقاطًا أقل.

أسهم كتاب مايكل بارنسلي ⁦Fractals Everywhere⁩ (⁦1988⁩) في انتشار طريقة رسم هذه الصور برميات عشوائية تحت اسم لعبة الفوضى.