Gioco del caos

A ogni lancio del gioco del caos, un punto percorre una frazione r della distanza che lo separa da uno dei punti $v_1, \dots, v_N$, scelto a caso. In altre parole, si applica una delle trasformazioni

che riducono il piano di un fattore s verso $v_i$. Il drago e la felce usano invece applicazioni affini $f_i(x) = A_i x + b_i$. Qui puoi spostare i punti, regolare r, limitare il lancio successivo e cambiare le probabilità, per vedere quali figure disegnano i dadi.

Il disegno conta dove arrivano i punti: più ne arrivano in un pixel, più intenso è il colore. Ultimo lancio colora ogni punto in base al vertice o all’applicazione scelti per ultimi; Lancio precedente usa la scelta precedente. Dove i colori si mescolano, punti di colori diversi occupano lo stesso pixel.

Perché ogni partita disegna la stessa figura? Consideriamo prima lanci senza memoria. Ogni applicazione riduce le distanze, quindi due punti che seguono gli stessi lanci si avvicinano. Esiste esattamente un insieme compatto non vuoto K formato dalle proprie copie:

Un punto di K resta in K qualunque sia il lancio. La distanza del punto della partita da K tende quindi a zero e l’effetto del punto iniziale scompare.

Gli ultimi k lanci portano il punto vicino a una piccola copia di K; quelli precedenti decidono solo dove si trova in quella zona. Così Ultimo lancio mostra le N copie, e Lancio precedente le $N^2$ copie più piccole, ciascuna una copia dell’intero. Se ogni applicazione ha probabilità positiva, quasi certamente ogni sequenza finita di lanci compare prima o poi: i punti si avvicinano a ogni parte di K. La fotocopiatrice non ha bisogno di dadi. Riduce una forma intera in N copie e ripete il procedimento. Dal contorno che racchiude la figura o da un coniglio, si avvicina allo stesso K. Il coniglio rivela rotazioni e riflessioni.

Quando l’involucro convesso dei punti è un poligono e le sue N copie si incontrano al massimo lungo i bordi, la dimensione della figura è

Il triangolo con r = 1/2 ha $D = \log 3/\log 2 \approx 1.585$, e il tappeto con r = 2/3 ha $\log 8/\log 3 \approx 1.893$. Quando le copie si sovrappongono, questo numero è solo un limite superiore e la pagina non indica una dimensione. Se ricoprono tutto il poligono, il poligono stesso è formato dalle proprie copie. Per unicità, è dunque proprio la figura cercata: un poligono pieno.

Con Senza ripetizioni o Escludi i vicini, il lancio successivo dipende dall’ultimo. I vicini si stabiliscono con la numerazione dei punti, che non cambia trascinandoli. La figura si divide allora secondo l’ultimo lancio: ogni parte è una copia delle parti ammesse subito prima. Una restrizione può quindi cambiare la forma stessa: con r = 1/2, un quadrato senza ripetizioni non è più pieno, ma diventa un frattale di dimensione $\log 3/\log 2$.

Finché ogni applicazione ha probabilità positiva, le probabilità non cambiano K. Decidono solo come vi si distribuiscono i punti. La felce è disegnata Per area. Con probabilità Uguali, la foglia conserva la forma: aumentano solo i punti sul gambo e diminuiscono quelli alle estremità.

Il libro di Michael Barnsley Fractals Everywhere (1988) ha diffuso questo modo di disegnare con lanci casuali sotto il nome di gioco del caos.