混沌遊戲

混沌遊戲每擲一次骰子，就讓點朝隨機選出的某個頂點$v_1, \dots, v_N$，移動全程的r。換句話說，每次都套用下列某個映射：

這些映射把平面朝$v_i$縮放為s倍。龍形與蕨葉則使用仿射映射$f_i(x) = A_i x + b_i$。在這裡，你可以移動頂點、調整r、限制下一次擲骰，以及改變各種結果的機率，看看骰子能畫出什麼圖形。

畫面計算的是落點：一個像素裡的落點越多，顏色就越濃。最後一次擲骰依落點最後一次選中的頂點或映射上色，前一次擲骰則依再前一次的結果。顏色混在一起，表示不同顏色的落點進入了同一個像素。

為什麼每一局都畫出同一幅圖？先看沒有記憶的擲法。每個映射都縮短距離，因此遵循同一串擲骰結果的兩個點會逐漸靠近。恰好有一個非空緊集K，由它自己的副本組成：

K裡的點不論擲到什麼，都仍在K裡；因此遊戲中的點到K的距離趨近於零，起點的影響也就消失了。

最近k次擲骰把點帶到K的某個小副本附近，更早的結果只決定它在那一帶的哪裡。因此最後一次擲骰顯出N份副本，前一次擲骰顯出$N^2$份更小的副本，每份都是整幅圖的副本。只要每個映射都有機會被選到，任何有限長度的擲骰序列幾乎必然遲早出現，點也就會靠近K的每一處。複製機完全不用骰子：把整個圖形縮成N份，再不斷重複。從包住圖形的外形或兔子開始，都會逼近同一個K。兔子能顯示映射是否旋轉或翻轉。

當頂點的凸包是多邊形，且它的N份副本至多沿邊相接時，圖形的維度為

r=1/2時，三角形有$D = \log 3/\log 2 \approx 1.585$；r=2/3時，地毯有$\log 8/\log 3 \approx 1.893$。副本重疊時，這個數只代表上界，頁面不提供維度判定。副本覆蓋整個多邊形時，多邊形本身就由自己的副本組成，因此由唯一性可知，最後的圖形就是實心多邊形。

選擇不重複或不選相鄰點時，下一次擲骰取決於上一次。相鄰關係依頂點編號判定，拖曳不會改變編號。圖形此時依最後一次擲骰分成數塊，每塊都是前一次允許出現的那些部分合起來的副本。因此限制能改變圖形本身：r=1/2時，不連續選中同一頂點的正方形不再實心，而是維度為$\log 3/\log 2$的碎形。

只要每個映射都有被選到的機會，機率就不會改變K，只會決定落點在K上的分布。蕨葉採用依面積繪製；改成均等機率，葉子形狀不變，只是莖上的點增加、葉尖的點減少。

Michael Barnsley的Fractals Everywhere（1988）讓這種隨機擲點的繪圖方法以「混沌遊戲」之名廣為人知。