Jeu du chaos

À chaque tirage du jeu du chaos, un point avance d’une fraction r de la distance qui le sépare d’un des points $v_1, \dots, v_N$, choisi au hasard. Autrement dit, on applique l’une des transformations suivantes :

Elles réduisent le plan d’un facteur s vers $v_i$. Le dragon et la fougère utilisent plutôt des applications affines $f_i(x) = A_i x + b_i$. Vous pouvez déplacer les points, régler r, restreindre le tirage suivant et modifier les probabilités pour voir quelles images les dés dessinent.

L’image compte les points déposés : plus un pixel en reçoit, plus sa couleur est intense. Dernier tirage colore chaque point selon le sommet ou l’application choisi en dernier ; Tirage précédent utilise le choix d’avant. Là où les couleurs se mélangent, des points de couleurs différentes partagent un même pixel.

Pourquoi chaque partie dessine-t-elle la même image ? Considérons d’abord des tirages sans mémoire. Chaque application réduit les distances : deux points soumis aux mêmes tirages se rapprochent. Il existe exactement un ensemble compact non vide K constitué de ses propres copies :

Un point de K reste dans K quel que soit le tirage. La distance du point du jeu à K tend donc vers zéro, et le départ finit par être oublié.

Les k derniers tirages placent le point près d’une petite copie de K ; les tirages antérieurs déterminent seulement où il se trouve dans ce voisinage. Ainsi, Dernier tirage montre les N copies, et Tirage précédent les $N^2$ copies plus petites, chacune une copie du tout. Si chaque application a une probabilité non nulle, toute suite finie de tirages apparaît presque sûrement tôt ou tard : les points s’approchent donc de chaque partie de K. La machine à copier n’a besoin d’aucun dé. Elle réduit une forme entière en N copies, puis recommence. Qu’elle parte du contour qui englobe la figure ou d’un lapin, elle se rapproche du même K. Le lapin révèle les rotations et les retournements.

Lorsque l’enveloppe convexe des points est un polygone et que ses N copies se rencontrent tout au plus sur leurs bords, l’image a pour dimension

Pour le triangle avec r = 1/2, on a $D = \log 3/\log 2 \approx 1.585$, et pour le tapis avec r = 2/3, $\log 8/\log 3 \approx 1.893$. Si les copies se chevauchent, ce nombre n’est qu’une borne supérieure et la page ne donne pas de dimension. Si elles couvrent tout le polygone, celui-ci est constitué de ses propres copies. Par unicité, il est donc l’image cherchée : un polygone plein.

Avec Sans répétition ou Sans voisins, le tirage suivant dépend du dernier. Le voisinage suit la numérotation des points, qui ne change pas lorsqu’on les déplace. L’image se décompose alors selon le dernier tirage ; chaque morceau est une copie des morceaux autorisés juste avant lui. Une restriction peut donc changer la forme elle-même : pour r = 1/2, le carré sans répétition n’est plus plein, mais devient une fractale de dimension $\log 3/\log 2$.

Tant que chaque application garde une probabilité non nulle, les probabilités ne changent pas K. Elles déterminent seulement la répartition des points sur K. La fougère est dessinée Selon l’aire. Avec des probabilités Égales, la feuille conserve sa forme : la tige reçoit simplement plus de points, et les extrémités moins.

Le livre de Michael Barnsley Fractals Everywhere (1988) a largement fait connaître cette manière de dessiner par tirages aléatoires sous le nom de jeu du chaos.