Jogo do caos

Em cada lançamento do jogo do caos, um ponto percorre uma fração r da distância até um dos pontos $v_1, \dots, v_N$, escolhido ao acaso. Por outras palavras, aplica-se uma das transformações

que reduzem o plano por um fator s em direção a $v_i$. O dragão e o feto usam, em vez disso, aplicações afins $f_i(x) = A_i x + b_i$. Aqui pode mover os pontos, ajustar r, restringir o lançamento seguinte e mudar as probabilidades, para ver que imagens os dados desenham.

A imagem conta os pontos que chegam: quanto mais chegam a um píxel, mais intensa é a cor. Último lançamento colore cada ponto de acordo com o vértice ou a aplicação escolhidos por último; Lançamento anterior usa a escolha precedente. Onde as cores se misturam, pontos de cores diferentes partilham o mesmo píxel.

Porque é que todas as partidas desenham a mesma imagem? Comecemos por lançamentos sem memória. Cada aplicação encurta as distâncias, pelo que dois pontos sujeitos aos mesmos lançamentos se aproximam. Existe exatamente um conjunto compacto não vazio K formado pelas suas próprias cópias:

Um ponto de K permanece em K, seja qual for o lançamento. Por isso, a distância do ponto da partida a K tende para zero e a influência do ponto inicial desaparece.

Os últimos k lançamentos levam o ponto para perto de uma pequena cópia de K; os anteriores só decidem onde fica nessa vizinhança. Assim, Último lançamento mostra as N cópias e Lançamento anterior as $N^2$ cópias mais pequenas, cada uma uma cópia do todo. Se todas as aplicações tiverem probabilidade positiva, quase certamente qualquer sequência finita de lançamentos surge mais cedo ou mais tarde. Os pontos aproximam-se, portanto, de todas as partes de K. A máquina de cópias dispensa os dados: reduz uma forma inteira a N cópias e repete. Quer parta do contorno que envolve a figura, quer de um coelho, aproxima-se do mesmo K. O coelho permite ver rotações e reflexões.

Quando o invólucro convexo dos pontos é um polígono e as suas N cópias se encontram, quando muito, nos bordos, a dimensão da imagem é

O triângulo com r = 1/2 tem $D = \log 3/\log 2 \approx 1.585$, e o tapete com r = 2/3 tem $\log 8/\log 3 \approx 1.893$. Quando as cópias se sobrepõem, este número é apenas um limite superior e a página não indica uma dimensão. Se cobrem todo o polígono, o próprio polígono é formado pelas suas cópias. Pela unicidade, essa é a imagem: um polígono preenchido.

Com Sem repetições ou Sem vizinhos, o lançamento seguinte depende do último. A vizinhança segue a numeração dos pontos, que não muda ao arrastá-los. A imagem divide-se então segundo o último lançamento: cada parte é uma cópia das partes permitidas imediatamente antes. Uma restrição pode, portanto, mudar a própria forma: com r = 1/2, um quadrado sem repetições deixa de ser preenchido e passa a ser um fractal de dimensão $\log 3/\log 2$.

Enquanto todas as aplicações tiverem probabilidade positiva, as probabilidades não alteram K. Apenas decidem como os pontos se distribuem sobre ele. O feto é desenhado Por área. Com probabilidades Iguais, a folha mantém a forma; apenas chegam mais pontos à haste e menos às pontas.

O livro de Michael Barnsley Fractals Everywhere (1988) tornou amplamente conhecida esta forma de desenhar com lançamentos aleatórios, sob o nome de jogo do caos.