Игра в хаос

При каждом броске в игре в хаос случайно выбирается одна из точек $v_1, \dots, v_N$, и текущая точка проходит долю r расстояния до неё. Иными словами, применяется одно из отображений

которые сжимают плоскость с коэффициентом s к точке $v_i$. Дракон и папоротник вместо этого используют аффинные отображения $f_i(x) = A_i x + b_i$. Здесь можно перемещать вершины, менять r, ограничивать следующий бросок и менять вероятности — и смотреть, какие рисунки создаёт кубик.

Рисунок подсчитывает попадания: чем больше точек попало в пиксель, тем насыщеннее его цвет. В режиме По последнему броску цвет каждого попадания определяется вершиной или отображением, выбранным последним броском, а в режиме По предпоследнему броску — броском перед ним. Там, где цвета смешиваются, в один пиксель попали точки разных цветов.

Почему каждая игра рисует одну и ту же фигуру? Сначала рассмотрим броски без памяти. Каждое отображение сокращает расстояния, поэтому две точки, следующие одной последовательности бросков, сближаются. Существует ровно одно непустое компактное множество K, составленное из собственных копий,

Точка из K остаётся в K при любом броске, поэтому расстояние от точки игры до K стремится к нулю, а начальное положение забывается.

Последние k бросков помещают точку рядом с одной из маленьких копий K, а более ранние броски определяют лишь её положение вблизи этой копии. Поэтому режим По последнему броску показывает N копий, а режим По предпоследнему броску — $N^2$ более мелких; каждая из них — копия целого. Если у каждого отображения есть ненулевая вероятность, то почти наверное любая конечная последовательность бросков рано или поздно встретится, и точки приблизятся к каждой части K. Копировальной машине кубик вообще не нужен. Она уменьшает целую фигуру до N копий и повторяет этот процесс: начав с охватывающего контура или с кролика, она приближается к тому же K. По кролику видно, поворачивает ли отображение фигуру или зеркально отражает её.

Если выпуклая оболочка вершин — многоугольник, а его N копий соприкасаются не более чем по границам, размерность рисунка равна

У треугольника при r = 1/2 она равна $D = \log 3/\log 2 \approx 1.585$, а у ковра при r = 2/3 — $\log 8/\log 3 \approx 1.893$. Когда копии перекрываются, это число даёт лишь верхнюю границу, и страница не указывает размерность. Если же копии покрывают весь многоугольник, он составлен из собственных копий. В силу единственности он и есть предельный рисунок — сплошная фигура.

В режимах Без повторов и Без соседей следующий бросок зависит от предыдущего. Соседство определяется нумерацией вершин, которая не меняется при перетаскивании. Тогда последний бросок разбивает рисунок на части, каждая из которых — копия совокупности частей, допустимых непосредственно перед ней. Значит, ограничение может изменить саму фигуру: при r = 1/2 квадрат без повторов уже не сплошной, а представляет собой фрактал размерности $\log 3/\log 2$.

Пока у каждого отображения есть ненулевая вероятность, вероятности не меняют K. Они определяют лишь распределение попаданий по нему. Папоротник рисуется в режиме По площади. В режиме Равные форма листа сохраняется, но на стебель приходится больше точек, а на кончики — меньше.

Книга Майкла Барнсли Fractals Everywhere (1988) сделала рисование таких фигур случайными бросками широко известным под названием «игра в хаос».