Modelo abeliano de pila de arena

En la pila de arena abeliana, cada casilla del tablero contiene h(x) granos. Una casilla con cuatro o más está llena y puede derrumbarse, dando un grano a cada una de sus cuatro vecinas:

Un grano que cruza el borde del tablero cae al sumidero y desaparece. Un tablero sin casillas llenas es estable, y $h^\circ$ es el estado al que llega h tras derrumbarse hasta estabilizarse. Aquí puedes verter arena, provocar derrumbes en distintos órdenes, sumar pilas y observar el dibujo que deja una pila grande.

Los colores indican 0, 1, 2 o 3 granos, y una casilla llena a punto de derrumbarse tiene el mayor contraste. Cada experimento se ejecuta en dos tableros. En el principal, las casillas llenas se derrumban como elijas: mientras entra arena poco a poco, al azar o al hacer clic. El tablero de referencia, en la parte superior del panel, recibe la misma arena de golpe y derrumba todas las casillas llenas a la vez en cada ronda. Cuando ambos se estabilizan, la página compara casilla por casilla los granos y el número de derrumbes. Derrumbes colorea cada casilla según esa cuenta.

¿Por qué coinciden siempre los dos tableros? Derrumbar una casilla nunca quita granos a otra: solo añade granos a sus vecinas. Por eso, si dos casillas están llenas, derrumbar una deja la otra llena. Derrumbar ambas, en cualquier orden, añade los mismos dos cambios al tablero. Los derrumbes también terminan: si una casilla se derrumbara sin fin, obligaría a sus vecinas a hacerlo también, hasta llegar al borde, y la arena acabaría escapándose. Juntos, estos hechos dan la propiedad abeliana: cualquier orden de derrumbes que continúe hasta estabilizarse lleva al mismo estado, y cada casilla se derrumba el mismo número de veces.

Si la casilla x se derrumbó u(x) veces, envió u(x) granos a cada vecina y recibió u(y) de cada vecina y, por lo que

donde h cuenta los granos iniciales más toda la arena añadida, u = 0 fuera del borde y Δ es el laplaciano discreto.

Escribimos $a \oplus b = (a + b)^\circ$: sumamos dos pilas casilla por casilla y después las dejamos derrumbarse hasta estabilizarse. Como el orden no importa, verter una segunda pila sobre una ya estable da el mismo resultado que verter ambas a la vez. Eso muestra Dos vertidos. Algunos estados estables reaparecen: un estado es recurrente si puede alcanzarse desde cualquier estado añadiendo arena y provocando derrumbes. Los estados recurrentes forman un grupo bajo ⊕, y el inicio Elemento neutro muestra su elemento neutro e. Añadir e a cualquier estado recurrente r devuelve r, y añadir e a sí mismo devuelve e.

Derrumbes no se parece en nada a la vista de granos. Para una pila vertida en una casilla del plano vacío, forma una colina suave con curvas de nivel casi circulares. Fuera de la casilla donde se vierte, h = 0, así que la fórmula anterior se convierte en $\Delta u = h^\circ$. Los granos finales, entre 0 y 3, registran en números enteros las pequeñas curvaturas de la colina, mientras u alcanza decenas de miles. Los granos forman zonas de patrones repetidos, con bandas curvas entre ellas.

Per Bak, Chao Tang y Kurt Wiesenfeld introdujeron el modelo en 1987 como ejemplo de criticalidad autoorganizada, y Deepak Dhar descubrió su propiedad abeliana en 1990.