アーベル砂山モデル

アーベル砂山では、盤面の各マスにh(x)粒の砂があります。4粒以上あるマスは満杯で、崩して上下左右の4マスへ1粒ずつ渡せます。

盤面の端を越えた砂粒は吸収点へ落ち、消えます。満杯のマスがない盤面を安定といい、hが安定するまで崩れた結果を$h^\circ$で表します。ここでは砂を注ぎ、崩す順序を変え、砂山を足し合わせて、大きな砂山が残す模様を観察できます。

色は0、1、2、3粒を表し、満杯で崩れる直前のマスが最も強いコントラストになります。実験はどれも2つの盤面で進みます。主盤面では、砂を少しずつ加えながら、ランダムに、あるいはクリックに応じて、選んだ方法で満杯のマスを崩します。パネル上部の比較用盤面には同じ砂を一度に置き、毎ラウンドすべての満杯のマスを同時に崩します。両方が安定すると、砂粒数と崩れた回数をマスごとに比べます。崩れた回数では、その回数で各マスを色分けします。

なぜ2つの盤面は必ず一致するのでしょうか。あるマスを崩しても、ほかのマスから砂を奪うことはなく、隣に足すだけです。だから2マスが満杯なら、一方を崩しても他方は満杯のままです。両方をどちらの順で崩しても、盤面には同じ2つの変化が加わります。また、崩壊は必ず止まります。もし1マスが永遠に崩れ続けるなら、隣も崩れ続け、その影響は端まで及び、砂が流れ出て尽きてしまうからです。この2点からアーベル性が得られます。安定するまで崩せば順序によらず同じ状態になり、各マスが崩れる回数も同じです。

マスxがu(x)回崩れたなら、各隣接マスへu(x)粒を送り、隣接マスyのそれぞれからu(y)粒を受け取ったので、

ここでhは最初の砂と追加した砂をすべて含み、端の外ではu=0とします。Δは離散ラプラシアンです。

$a \oplus b = (a + b)^\circ$と書きます。2つの砂山をマスごとに足し、安定するまで崩す操作です。順序によらないので、安定した砂山に2つ目を注いでも、両方を一度に注いでも、最後は同じです。2回に分けて注ぐでこれを示します。安定状態の中には繰り返し現れるものがあります。どの状態からでも砂を加えて崩すことで到達できる状態を再帰状態と呼びます。再帰状態は⊕の下で群をなし、初期状態の単位元はその群の単位元eを示します。どの再帰状態rにeを加えてもrに戻り、e自身に加えればeに戻ります。

崩れた回数の図は砂粒数の図とはまったく異なります。空の平面の1マスに砂を注ぐと、回数の図は等高線がほぼ円形のなめらかな山になります。砂を注いだマス以外ではh=0なので、上の式は$\Delta u = h^\circ$となります。最後の砂粒数は0〜3で、この山のわずかな曲がりを整数で記録しています。一方、u自体は数万にもなります。砂粒数の図には模様の繰り返す領域ができ、その間を曲線状の帯が走ります。

パー・バック、チャオ・タン、カート・ヴィーゼンフェルドは1987年、自己組織化臨界現象の例としてこのモデルを提案しました。ディーパク・ダールは1990年にそのアーベル性を見いだしました。