阿貝爾沙堆

在阿貝爾沙堆中，棋盤每格裝著h(x)粒沙。有4粒以上的格子就滿了，可以倒塌，給上下左右四個鄰居各一粒：

送出棋盤邊界的沙會落進匯，就此消失。沒有滿格的棋盤是穩定的，$h^\circ$表示h持續倒塌直到穩定後的狀態。你可以倒沙、依不同順序倒塌、把沙堆相加，看看一大堆沙留下的花紋。

顏色表示0、1、2或3粒，即將倒塌的滿格對比最強。每個實驗都在兩塊棋盤上進行。主棋盤依你選的方式倒塌：一邊加沙一邊倒、隨機倒，或點選才倒。面板頂端的對照棋盤一次放下同樣的沙，每輪讓所有滿格一起倒。兩塊都穩定後，頁面逐格比較粒數與倒塌次數。倒塌次數依這個次數替每格上色。

為什麼兩塊棋盤總是相同？一格倒塌不會拿走其他格的沙，只會給鄰居加沙。因此兩格都滿時，倒了其中一格，另一格仍然滿；兩格都倒，不論先後，加到棋盤上的都是同樣兩份增減。倒塌也一定會停：若一格永遠倒下去，鄰居也會一直倒，一路傳到邊界，沙就會流失殆盡。兩者合起來就是阿貝爾性質：不論以何種順序倒到穩定，終局都相同，每格倒塌次數也相同。

若x格倒了u(x)次，它給每個鄰居送出u(x)粒，又從每個鄰居y收到u(y)粒，因此

其中h包括起始的沙和全部加入的沙，邊界外取u=0，Δ是離散拉普拉斯算子。

記$a \oplus b = (a + b)^\circ$：兩堆沙逐格相加，再倒到穩定。因為順序無關，在穩定沙堆上再倒第二堆，和兩堆同時倒下的終局相同，分兩次倒展示的就是這件事。有些穩定狀態會不斷再出現：若從任何狀態出發，都能經由加沙與倒塌到達某個狀態，就稱它為常返狀態。常返狀態在⊕下構成一個群；起始選項單位元顯示這個群的單位元e。把e加到任何常返狀態r，仍得到r；e加上自己，仍得到e。

倒塌次數與粒數的畫面完全不同。在空平面的一格倒入一堆沙，次數圖像一座平滑的山，等高線近乎圓形。倒沙格以外的h=0，因此上式成為$\Delta u = h^\circ$。最後的粒數介於0與3之間，以整數記下這座山微小的彎曲，而u本身卻高達數萬。粒數形成一塊塊重複的花樣，其間夾著彎曲的條帶。

Per Bak、Chao Tang與Kurt Wiesenfeld於1987年提出這個模型，作為自組織臨界性的例子；Deepak Dhar於1990年發現它的阿貝爾性質。