Pila di sabbia abeliana

Nel mucchio di sabbia abeliano, ogni casella della griglia contiene h(x) granelli. Una casella con almeno quattro granelli è piena e può franare, cedendo un granello a ciascuna delle sue quattro vicine:

Un granello inviato oltre il bordo della griglia cade nel pozzo e scompare. Una griglia senza caselle piene è stabile, e $h^\circ$ è ciò che diventa h dopo aver lasciato proseguire le frane fino alla stabilità. Qui puoi versare sabbia, provocare frane in ordini diversi, sommare mucchi e osservare il disegno lasciato da un grande mucchio.

I colori indicano 0, 1, 2 o 3 granelli, e una casella piena sul punto di franare ha il contrasto più forte. Ogni esperimento si svolge su due griglie. Su quella principale, le caselle piene franano come scegli tu: mentre arriva sabbia poco alla volta, a caso oppure al tuo clic. La griglia di confronto in cima al pannello riceve la stessa sabbia tutta insieme e fa franare tutte le caselle piene a ogni turno. Quando entrambe sono stabili, la pagina confronta casella per casella i granelli e il numero di frane. Frane colora ogni casella secondo quel conteggio.

Perché le due griglie coincidono sempre? Far franare una casella non sottrae mai granelli alle altre: ne aggiunge solo alle vicine. Quindi, se due caselle sono piene, far franare una lascia piena l’altra. Farle franare entrambe, in un ordine o nell’altro, aggiunge alla griglia le stesse due variazioni. Le frane si fermano anche: se una casella franasse per sempre, costringerebbe le vicine a fare altrettanto, fino al bordo, e la sabbia finirebbe per uscire tutta. Insieme, questi fatti danno la proprietà abeliana: qualsiasi ordine di frane proseguito fino alla stabilità porta allo stesso stato, e ogni casella frana lo stesso numero di volte.

Se la casella x è franata u(x) volte, ha inviato u(x) granelli a ogni vicina e ne ha ricevuti u(y) da ogni vicina y, quindi

dove h conta i granelli iniziali più tutta la sabbia aggiunta, u = 0 oltre il bordo e Δ è il laplaciano discreto.

Scriviamo $a \oplus b = (a + b)^\circ$: sommiamo due mucchi casella per casella, poi li lasciamo franare fino alla stabilità. Poiché l’ordine non conta, versare un secondo mucchio su uno già stabile dà lo stesso risultato che versarli entrambi insieme. È ciò che mostra Due versamenti. Alcuni stati stabili continuano a ripresentarsi: uno stato è ricorrente se lo si può raggiungere da qualsiasi stato aggiungendo sabbia e facendo franare le caselle. Gli stati ricorrenti formano un gruppo rispetto a ⊕, e l’inizio Elemento neutro mostra il suo elemento neutro e. Aggiungere e a qualsiasi stato ricorrente r restituisce r; aggiungere e a sé stesso restituisce e.

Frane non somiglia affatto alla vista dei granelli. Per un mucchio versato in una casella del piano vuoto, forma una collina liscia con curve di livello quasi circolari. Fuori dalla casella in cui si versa, h = 0, quindi la formula precedente diventa $\Delta u = h^\circ$. I granelli finali, tra 0 e 3, registrano in numeri interi le minuscole curvature della collina, mentre u raggiunge le decine di migliaia. I granelli formano zone dai motivi ripetuti, con fasce curve tra l’una e l’altra.

Per Bak, Chao Tang e Kurt Wiesenfeld introdussero il modello nel 1987 come esempio di criticità auto-organizzata; Deepak Dhar ne scoprì la proprietà abeliana nel 1990.