Pilha de areia abeliana

No monte de areia abeliano, cada célula do tabuleiro contém h(x) grãos. Uma célula com quatro ou mais está cheia e pode desabar, dando um grão a cada uma das suas quatro vizinhas:

Um grão enviado para lá da borda cai no sumidouro e desaparece. Um tabuleiro sem células cheias é estável, e $h^\circ$ é o estado a que h chega depois de desabar até ficar estável. Aqui pode despejar areia, provocar desabamentos em ordens diferentes, somar montes e observar o padrão que um grande monte deixa.

As cores indicam 0, 1, 2 ou 3 grãos; uma célula cheia prestes a desabar tem o maior contraste. Cada experiência decorre em dois tabuleiros. No principal, as células cheias desabam como escolher: enquanto a areia entra aos poucos, ao acaso ou quando clica nelas. O tabuleiro de comparação, no topo do painel, recebe a mesma areia toda de uma vez e, em cada ronda, faz desabar todas as células cheias em simultâneo. Quando ambos estão estáveis, a página compara célula a célula os grãos e o número de desabamentos. Desabamentos dá cor a cada célula segundo essa contagem.

Porque é que os dois tabuleiros coincidem sempre? O desabamento de uma célula nunca retira grãos a outra; só acrescenta às vizinhas. Assim, se duas células estão cheias, fazer desabar uma deixa a outra cheia. Fazer desabar ambas, em qualquer ordem, soma as mesmas duas alterações ao tabuleiro. Os desabamentos também param: se uma célula desabasse para sempre, obrigaria as vizinhas a fazer o mesmo, até à borda, e a areia acabaria por escoar toda. Juntos, estes factos dão a propriedade abeliana: qualquer ordem de desabamentos que prossiga até à estabilidade chega ao mesmo estado, e cada célula desaba o mesmo número de vezes.

Se a célula x desabou u(x) vezes, enviou u(x) grãos a cada vizinha e recebeu u(y) de cada vizinha y, pelo que

onde h conta os grãos iniciais mais toda a areia acrescentada, u = 0 para lá da borda e Δ é o laplaciano discreto.

Escrevemos $a \oplus b = (a + b)^\circ$: somam-se dois montes célula a célula e deixa-se desabar até à estabilidade. Como a ordem não importa, despejar um segundo monte sobre um já estável dá o mesmo resultado que despejar ambos de uma vez. É o que mostra Duas cargas. Alguns estados estáveis voltam a surgir: um estado é recorrente se puder ser atingido a partir de qualquer estado, acrescentando areia e provocando desabamentos. Os estados recorrentes formam um grupo sob ⊕, e o início Elemento neutro mostra o seu elemento neutro e. Somar e a qualquer estado recorrente r devolve r, e somar e a si próprio devolve e.

Desabamentos não se parece nada com a vista dos grãos. Para um monte despejado numa célula do plano vazio, forma uma colina suave com curvas de nível quase circulares. Fora da célula onde se despeja, h = 0, pelo que a fórmula anterior se torna $\Delta u = h^\circ$. Os grãos finais, entre 0 e 3, registam em números inteiros as minúsculas curvaturas da colina, enquanto u atinge dezenas de milhares. Os grãos formam zonas de padrões repetidos, com faixas curvas entre elas.

Per Bak, Chao Tang e Kurt Wiesenfeld introduziram o modelo em 1987 como exemplo de criticalidade auto-organizada, e Deepak Dhar descobriu a sua propriedade abeliana em 1990.