نموذج كومة الرمل الأبيلية

في كومة الرمل الأبيلية، تحتوي كل خانة من اللوحة على ⁦h(x)⁩ حبة. تُعد الخانة ممتلئة إذا احتوت على أربع حبات أو أكثر، ويمكنها الانهيار فتعطي حبة لكل واحد من جيرانها الأربعة:

الحبة التي تعبر حافة اللوحة تسقط في المصرف وتختفي. تكون اللوحة مستقرة إذا لم تبق فيها خانة ممتلئة، وتمثل ⁦$h^\circ$⁩ ما تصير إليه ⁦h⁩ بعد استمرار الانهيارات حتى الاستقرار. يمكنك هنا صب الرمل، وتغيير ترتيب الانهيارات، وجمع الأكوام، ومشاهدة النمط الذي تتركه كومة كبيرة.

تبيّن الألوان وجود ⁦0⁩ أو ⁦1⁩ أو ⁦2⁩ أو ⁦3⁩ حبات، ويكون التباين أقوى في الخانة الممتلئة التي توشك على الانهيار. تجري كل تجربة على لوحتين. في الرئيسية تنهار الخانات الممتلئة بالطريقة التي تختارها: مع إضافة الرمل تدريجيًا، أو عشوائيًا، أو عند النقر عليها. تتلقى اللوحة المقابلة في أعلى لوحة التحكم الرمل نفسه دفعة واحدة، وتُسقط جميع الخانات الممتلئة معًا في كل جولة. بعد استقرار اللوحتين، تقارنهما الصفحة خانة بخانة، في عدد الحبات وعدد مرات الانهيار. يلوّن خيار الانهيارات كل خانة بحسب هذا العدد.

لماذا تتطابق اللوحتان دائمًا؟ انهيار خانة لا يأخذ حبات من خانة أخرى، بل يضيف فقط إلى جيرانها. لذا إذا امتلأت خانتان، فإن انهيار إحداهما يترك الأخرى ممتلئة. وانهيارهما معًا، بأي ترتيب، يضيف التغيرين نفسيهما إلى اللوحة. وتتوقف الانهيارات أيضًا: فلو انهارت خانة إلى الأبد، لأجبرت جيرانها على الاستمرار أيضًا، حتى الحافة، ولتسرّب الرمل كله إلى الخارج. تعطي هاتان الحقيقتان الخاصية الأبيلية: كل ترتيب للانهيارات يستمر حتى الاستقرار ينتهي بالحالة نفسها، وتنهار كل خانة العدد نفسه من المرات.

إذا انهارت الخانة ⁦x⁩ عددًا من المرات يساوي ⁦u(x)⁩، فقد أرسلت ⁦u(x)⁩ حبة إلى كل جار، واستقبلت ⁦u(y)⁩ من كل جار ⁦y⁩، ومن ثم

حيث تحصي ⁦h⁩ الحبات الابتدائية وكل الرمل المضاف، ونأخذ ⁦u = 0⁩ خارج الحافة، و⁦Δ⁩ هو مؤثر لابلاس المتقطع.

نكتب ⁦$a \oplus b = (a + b)^\circ$⁩: نجمع كومتين خانة بخانة، ثم نواصل الانهيارات حتى الاستقرار. ولأن الترتيب لا يهم، فإن صب كومة ثانية على كومة مستقرة يعطي نتيجة صبهما معًا، كما يبيّن مثال صبّتان. بعض الحالات المستقرة تعود مرارًا: تكون الحالة راجعة إذا أمكن الوصول إليها من أي حالة بإضافة الرمل وإحداث الانهيارات. تشكل الحالات الراجعة زمرة تحت العملية ⁦⊕⁩، ويعرض خيار البداية العنصر المحايد عنصرها المحايد ⁦e⁩. إضافة ⁦e⁩ إلى أي حالة راجعة ⁦r⁩ تعيد ⁦r⁩، وإضافته إلى نفسه تعيد ⁦e⁩.

يختلف عرض الانهيارات تمامًا عن عرض الحبات. عند صب كومة في خانة واحدة من مستوى فارغ، يشكل هذا العرض تلًا أملس بخطوط تساوي ارتفاع شبه دائرية. خارج خانة الصب تكون ⁦h = 0⁩، فتصبح الصيغة السابقة ⁦$\Delta u = h^\circ$⁩. وتسجل أعداد الحبات النهائية، من ⁦0⁩ إلى ⁦3⁩، انحناء التل الدقيق بأعداد صحيحة، بينما تبلغ ⁦u⁩ نفسها عشرات الآلاف. تشكل الحبات مناطق ذات أنماط راجعة، تفصل بينها أشرطة منحنية.

قدّم بير باك وتشاو تانغ وكورت فيزنفيلد هذا النموذج سنة ⁦1987⁩ مثالًا على الحرجية ذاتية التنظيم، واكتشف ديباك دار خاصيته الأبيلية سنة ⁦1990⁩.