Tas de sable abélien

Dans le tas de sable abélien, chaque case du plateau contient h(x) grains. Une case qui en contient au moins quatre est pleine et peut s’ébouler, en donnant un grain à chacune de ses quatre voisines :

Un grain envoyé au-delà du bord tombe dans le puits et disparaît. Un plateau sans case pleine est stable, et $h^\circ$ désigne ce que devient h après des éboulements poursuivis jusqu’à stabilité. Ici, vous pouvez verser du sable, faire s’ébouler les cases dans différents ordres, additionner des tas et observer le motif laissé par un gros tas.

Les couleurs indiquent 0, 1, 2 ou 3 grains ; une case pleine sur le point de s’ébouler présente le contraste le plus fort. Chaque expérience se déroule sur deux plateaux. Sur le principal, les cases pleines s’éboulent selon votre choix : pendant l’ajout progressif du sable, au hasard ou à vos clics. Le plateau témoin, en haut du panneau, reçoit la même quantité de sable, aux mêmes endroits, d’un coup et fait s’ébouler toutes les cases pleines à chaque tour. Une fois les deux plateaux stables, la page compare chaque case, en grains et en nombre d’éboulements. Éboulements colore chaque case selon ce nombre.

Pourquoi les deux plateaux coïncident-ils toujours ? L’éboulement d’une case ne retire jamais de grains aux autres ; il en ajoute seulement aux voisines. Si deux cases sont pleines, faire s’ébouler l’une laisse donc l’autre pleine. Faire s’ébouler les deux, dans un ordre ou l’autre, ajoute au plateau les deux mêmes variations. Les éboulements s’arrêtent aussi : une case qui s’éboulerait indéfiniment obligerait ses voisines à faire de même, jusqu’au bord, et le sable finirait par s’échapper. Ces deux faits donnent la propriété abélienne : tout ordre d’éboulements poursuivi jusqu’à stabilité aboutit au même état, et chaque case s’éboule le même nombre de fois.

Si la case x s’est éboulée u(x) fois, elle a envoyé u(x) grains à chaque voisine et reçu u(y) grains de chaque voisine y. Ainsi,

où h compte les grains initiaux et tout le sable ajouté, u = 0 au-delà du bord, et Δ est le laplacien discret.

On écrit $a \oplus b = (a + b)^\circ$ : on additionne deux tas case par case, puis on les laisse s’ébouler jusqu’à stabilité. Comme l’ordre ne compte pas, verser un second tas sur un tas stabilisé donne le même résultat que verser les deux en même temps. C’est ce que montre Deux versements. Certains états stables reviennent sans cesse : un état est récurrent si l’on peut l’atteindre depuis n’importe quel état en ajoutant du sable et en provoquant des éboulements. Les états récurrents forment un groupe pour ⊕, et le départ Élément neutre montre son élément neutre e. Ajouter e à n’importe quel état récurrent r redonne r ; ajouter e à lui-même redonne e.

Éboulements ne ressemble pas du tout aux grains. Pour un tas versé sur une case du plan vide, cette vue forme une colline lisse aux courbes de niveau presque circulaires. Hors de la case où l’on verse, h = 0, et la formule précédente devient $\Delta u = h^\circ$. Les grains finaux, entre 0 et 3, enregistrent en nombres entiers les infimes courbures de la colline, tandis que u lui-même atteint des dizaines de milliers. Les grains dessinent des zones aux motifs répétés, séparées par des bandes courbes.

Per Bak, Chao Tang et Kurt Wiesenfeld ont proposé ce modèle en 1987 comme exemple de criticalité auto-organisée. Deepak Dhar en a découvert la propriété abélienne en 1990.