아벨 모래더미

아벨 모래더미에서는 판의 각 칸에 모래 h(x)알이 있습니다. 4알 이상인 칸은 가득 찬 상태로, 무너지면서 상하좌우 네 이웃에 한 알씩 보낼 수 있습니다.

판의 가장자리를 넘어간 모래알은 흡수점으로 빠져나가 사라집니다. 가득 찬 칸이 없는 판은 안정되어 있으며, $h^\circ$는 h를 안정될 때까지 무너뜨린 결과입니다. 여기서는 모래를 붓고, 다른 순서로 무너뜨리고, 모래더미를 더하면서 큰 모래더미가 남기는 무늬를 볼 수 있습니다.

색은 0, 1, 2, 3알을 나타내며, 가득 차서 곧 무너질 칸의 대비가 가장 강합니다. 모든 실험은 두 판에서 진행됩니다. 주 판에서는 모래가 조금씩 들어올 때, 무작위로, 또는 직접 클릭할 때처럼 선택한 방식으로 가득 찬 칸들이 무너집니다. 패널 위쪽의 비교 판에는 같은 모래를 한꺼번에 놓고, 매 단계 가득 찬 모든 칸을 동시에 무너뜨립니다. 두 판이 모두 안정되면 모래알 수와 붕괴 횟수를 칸별로 비교합니다. 붕괴 횟수는 그 횟수에 따라 각 칸을 칠합니다.

두 판은 왜 항상 같을까요? 한 칸이 무너질 때 다른 칸에서 모래를 빼앗지는 않고 이웃에 더하기만 합니다. 따라서 두 칸이 가득 차 있을 때 하나를 무너뜨려도 다른 하나는 여전히 가득 차 있습니다. 두 칸을 어느 순서로 무너뜨려도 판에 더해지는 두 변화는 같습니다. 붕괴는 반드시 멈추기도 합니다. 한 칸이 끝없이 무너진다면 이웃도 계속 무너지고, 그 영향이 가장자리까지 퍼져 모래가 모두 빠져나갈 것이기 때문입니다. 이 두 사실이 아벨 성질을 만듭니다. 안정될 때까지 무너뜨리면 순서와 관계없이 같은 상태에 도달하고, 각 칸의 붕괴 횟수도 같습니다.

칸 x가 u(x)번 무너졌다면 각 이웃에 u(x)알을 보내고, 각 이웃 y에게서 u(y)알을 받았으므로

여기서 h는 처음 모래와 추가한 모래를 모두 합친 수이고, 가장자리 밖에서는 u = 0입니다. Δ는 이산 라플라스 연산자입니다.

$a \oplus b = (a + b)^\circ$로 씁니다. 두 모래더미를 칸별로 더한 뒤 안정될 때까지 무너뜨리는 연산입니다. 순서가 상관없으므로 안정된 모래더미에 두 번째 더미를 부어도 둘을 한꺼번에 부었을 때와 같은 결과가 됩니다. 두 번에 나눠 붓기가 이를 보여 줍니다. 어떤 안정 상태들은 계속 다시 나타납니다. 어느 상태에서 시작해도 모래를 더하고 무너뜨려 도달할 수 있는 상태를 재귀 상태라고 합니다. 재귀 상태는 ⊕에 대해 군을 이루며, 시작 상태의 항등원은 그 군의 항등원 e를 보여 줍니다. 임의의 재귀 상태 r에 e를 더하면 r로 돌아오고, e에 자신을 더하면 e가 됩니다.

붕괴 횟수의 그림은 모래알 수의 그림과 전혀 다릅니다. 빈 평면의 한 칸에 모래더미를 부으면, 횟수는 등고선이 거의 원형인 매끄러운 언덕을 이룹니다. 모래를 부은 칸 밖에서는 h = 0이므로 위 식은 $\Delta u = h^\circ$가 됩니다. 최종 모래알 수는 0~3으로, 언덕의 미세한 굽음을 정수로 기록합니다. 한편 u 자체는 수만에 이릅니다. 모래알 수는 무늬가 반복되는 영역을 만들고, 그 사이에는 휘어진 띠가 놓입니다.

페르 바크, 차오 탕, 커트 비젠펠트는 1987년 자기조직화 임계성의 예로 이 모형을 제안했고, 디팍 다르는 1990년 아벨 성질을 발견했습니다.