잎차례

잎차례는 식물에서 잎, 작은 꽃, 씨앗이 배열되는 방식입니다. 해바라기 꽃머리의 씨앗은 두 무리의 나선을 이루며, 두 무리의 나선 수는 흔히 연속된 피보나치 수입니다. 여기서는 씨앗 원반의 어느 곳에서든 나선을 세고, 각도가 조금 달라지면 무엇이 바뀌는지 살펴보며, 각도를 정하지 않은 규칙이 황금각 근처에 도달하는 모습을 볼 수 있습니다. 고정 각도에서는 총 $N$개의 씨앗 중 0부터 세어 $k$번째인 씨앗이 다음 위치에 놓입니다.

각 씨앗은 이전 씨앗보다 α만큼 더 돌아가며, 제곱근 덕분에 새 씨앗마다 같은 넓이의 고리 영역이 더해집니다. 씨앗이 고리 둘레를 얼마나 고르게 채우는지는 각도에 달려 있습니다. 이것은 헬무트 포겔의 해바라기 꽃머리 모형(1979)입니다.

파란 원은 나선을 세는 곳입니다. 페이지는 그곳에서 눈에 보이는 나선을 찾아 노란색으로 그립니다. 가장 가까운 이웃들을 잇는 무리는 실선, 다른 무리는 점선으로 표시하고, 원을 가로지르는 곳에 번호를 붙입니다.

씨앗끼리 연결되어 있는 것은 아닙니다. 나선은 눈이 만들어 냅니다. 씨앗 $k + m$는 씨앗 $k$보다 $m\alpha$만큼 더 돌아갔습니다. $m\alpha$가 정수 번의 회전에 가까우면 두 씨앗은 거의 같은 방향을 가리키고, 반지름도 비슷하면 서로 이웃합니다. 각 씨앗을 $m$번째 뒤의 씨앗과 이으면 $m$개의 나선으로 이루어진 한 무리가 생깁니다. 황금각은

이고, 기본 원에서는

이므로 번호가 34만큼 차이 나는 씨앗과 55만큼 차이 나는 씨앗이 가장 가깝고, 눈에는 34개와 55개의 나선이 보입니다. 정수 번의 회전에 조금 못 미치는 무리는 바깥으로 가며 한쪽으로 감기고, 조금 넘는 무리는 반대쪽으로 감깁니다.

왜 피보나치 수일까요? $m\alpha$가 정수 번의 회전에 가장 가까워지는 $m$의 값은 α를 한 바퀴의 비율로 나타낸 연분수에서 읽을 수 있습니다. 황금각에서는 2 뒤의 모든 항이 1이므로,

가장 좋은 근사 분수의 분모가 피보나치 수가 됩니다. 이 분수들은 α/360°보다 큰 값과 작은 값으로 번갈아 나타나므로, 황금각에서는 두 나선 무리가 반대 방향으로 감깁니다. 원에 어떤 쌍이 보이는지는 원의 위치에 따라 달라집니다. 번호가 $m$만큼 차이 나는 두 씨앗은 반지름도 조금 다르고 방향도 조금 다릅니다. 바깥으로 갈수록 반지름 차이는 덜 중요해지고 방향 차이는 더 중요해집니다. 따라서 더 바깥에서는 씨앗 번호가 더 많이 떨어져 있어도 방향이 더 가깝게 되돌아오는 무리가 이어받으며, 나선 수는 피보나치 수를 하나씩 올라갑니다.

황금각과 가까운 각도도 전혀 다른 무늬를 만들 수 있으며, 연분수가 그 이유를 설명합니다. 큰 항은 방향이 원래 방향에 유난히 가깝게 돌아온다는 뜻으로, 나선팔이 두드러지게 보일 수 있습니다. 2 뒤의 모든 항이 1인 황금각은 방향을 고르게 유지합니다. 작은 그림은 처음 몇 씨앗의 방향을 원 위에 보여 줍니다. 씨앗 수가 얼마든 가장 긴 틈은 가장 짧은 틈의 $\varphi^2 \approx 2.618$배 이하입니다.

식물은 각도를 재지 않으며, 가장 빈 곳도 각도를 지정하지 않습니다. 자라는 끝부분에서는 원기가 하나씩 생깁니다. 원기는 잎이나 작은 꽃이 될 싹입니다. 1868년 빌헬름 호프마이스터는 새 원기가 기존 원기 사이의 가장 넓은 공간에 생기고, 기존 원기들은 이후 끝부분에서 멀어진다고 관찰했습니다. 가장 빈 곳은 이 규칙을 단순화한 모형입니다. 기본 초기 상태에서는 새 원기가 생기는 사이에 기존 원기들이 바깥으로 많이 밀려나는 동안, 새 원기가 이전 원기의 맞은편에 생깁니다. 밀려나는 양이 줄면 각도가 180°에서 벗어나 137.5° 주변에서 흔들리다가 137.47° 근처에 자리 잡고, 나선 수는 피보나치 수를 따라 늘어납니다. 다른 초기 상태에서는 같은 규칙도 다른 각도, 예를 들어 99.7° 근처에 자리 잡을 수 있습니다.