Phyllotaxis

Phyllotaxis bezeichnet die Anordnung von Blättern, Einzelblüten oder Samen an einer Pflanze. Im Blütenkopf einer Sonnenblume bilden die Samen zwei Spiralscharen, deren Anzahlen oft benachbarte Fibonacci-Zahlen sind. Hier kannst du die Spiralen an jeder Stelle einer Samenscheibe zählen, sehen, was eine kleine Winkeländerung bewirkt, und beobachten, wie eine Regel ohne vorgegebenen Winkel in die Nähe des goldenen Winkels führt. Unter Fester Winkel liegt von insgesamt $N$ Samen der Samen $k$, ab 0 gezählt, bei

Jeder Samen ist um α weiter gedreht als der vorige. Die Quadratwurzel weist jedem neuen Samen eine Ringfläche gleicher Größe zu. Wie gleichmäßig sich die Samen entlang der Ringe verteilen, hängt vom Winkel ab. Das ist Helmut Vogels Modell eines Sonnenblumenkopfs von 1979.

Am blauen Kreis wird gezählt. Dort findet die Seite die Spiralen, die das Auge erkennt, und zeichnet sie gelb: die Schar der nächsten Nachbarn durchgezogen, die andere gestrichelt. Wo sie den Kreis schneiden, werden sie nummeriert.

Kein Samen ist mit einem anderen verbunden; die Spiralen entstehen erst beim Sehen. Samen $k + m$ ist um $m\alpha$ weiter gedreht als Samen $k$. Liegt $m\alpha$ nahe einer ganzen Zahl von Umdrehungen, weisen beide fast in dieselbe Richtung. Sind auch ihre Radien ähnlich, liegen sie nebeneinander. Verbindet man dann jeden Samen mit dem $m$ Schritte späteren, erhält man eine Schar aus $m$ Spiralen. Der goldene Winkel ist

und am voreingestellten Kreis gilt

Daher liegen Samen mit 34 beziehungsweise 55 Schritten Abstand in der Folge am nächsten beieinander, und das Auge sieht 34 und 55 Spiralen. Eine Schar, deren Drehung knapp unter einer ganzen Zahl von Umdrehungen liegt, windet sich nach außen in die eine Richtung; eine, die etwas darüber hinausgeht, in die andere.

Warum Fibonacci-Zahlen? Die Werte von $m$, für die $m\alpha$ einer ganzen Zahl von Umdrehungen am nächsten kommt, lassen sich aus dem Kettenbruch von α als Anteil einer Umdrehung ablesen. Beim goldenen Winkel ist jedes Glied nach der 2 gleich 1:

Deshalb haben seine besten Näherungsbrüche Fibonacci-Zahlen als Nenner. Sie liegen abwechselnd über und unter α/360°, weshalb sich die beiden Scharen beim goldenen Winkel in entgegengesetzte Richtungen winden. Welches Paar der Kreis zeigt, hängt von seiner Lage ab. Zwei Samen mit $m$ Schritten Abstand unterscheiden sich ein wenig im Radius und ein wenig in der Richtung. Nach außen zählt der Radiusunterschied weniger, der Richtungsunterschied mehr. Daher übernimmt weiter außen eine Schar, deren Richtung genauer zurückkehrt, obwohl ihre Samen in der Folge weiter auseinanderliegen. Die Anzahlen steigen so jeweils zur nächsten Fibonacci-Zahl.

Winkel nahe dem goldenen Winkel können völlig andere Bilder erzeugen. Der Kettenbruch erklärt, warum: Ein großes Glied steht für eine ungewöhnlich genaue Rückkehr zur gleichen Richtung, wodurch einzelne Spiralarme hervortreten können. Beim goldenen Winkel, dessen Glieder nach der 2 alle 1 sind, bleiben die Richtungen gleichmäßig verteilt. Die kleine Grafik zeigt die Richtungen der ersten Samen auf einem Kreis: Wie viele es auch sind, die größte Lücke ist höchstens $\varphi^2 \approx 2.618$-mal so groß wie die kleinste.

Pflanzen messen keine Winkel, und Größter Freiraum gibt keinen vor. Eine wachsende Sprossspitze bildet ein Primordium nach dem anderen, jeweils die Anlage eines Blatts oder einer Einzelblüte. Wilhelm Hofmeister beobachtete 1868, dass ein neues Primordium in der größten Lücke zwischen den älteren erscheint, die sich dann von der Spitze entfernen. Größter Freiraum führt ein vereinfachtes Modell dieser Regel aus. Beim voreingestellten Start, solange die älteren Primordien zwischen zwei Entstehungen weit nach außen geschoben werden, erscheint jedes neue gegenüber dem vorherigen. Wird dieser Vorschub kleiner, löst sich der Winkel von 180°, schwankt um 137,5° und pendelt sich nahe 137,47° ein. Die Spiralzahlen steigen dabei durch die Fibonacci-Folge. Bei anderen Anfangszuständen kann dieselbe Regel auch zu einem anderen Winkel führen, etwa nahe 99,7°.