Filotaksi

Filotaksi, yaprakların, küçük çiçeklerin veya tohumların bitki üzerindeki dizilişidir. Bir ayçiçeği tablasındaki tohumlar iki sarmal ailesi oluşturur ve bu iki ailenin sarmal sayıları çoğu zaman ardışık Fibonacci sayılarıdır. Burada bir tohum diskinin istediğin yerinde sarmalları sayabilir, açıdaki küçük bir değişimin etkisini görebilir ve açı belirlemeyen bir kuralın altın açıya yaklaşmasını izleyebilirsin. Sabit açı seçiliyken, toplam $N$ tohumdan 0’dan başlayarak sayılan $k$ numaralı tohumun konumu

Her tohum bir öncekinden α kadar daha fazla döner; karekök de her yeni tohuma eşit büyüklükte bir halka alanı ayırır. Tohumların halkaların çevresine ne kadar eşit dağıldığı açıya bağlıdır. Bu, Helmut Vogel’in ayçiçeği tablası modelidir (1979).

Mavi çember, sayımı yaptığın yerdir. Sayfa burada gözün gördüğü sarmalları bulup sarı renkle çizer: en yakın komşuların ailesini düz çizgilerle, diğerini kesikli çizgilerle gösterir. Çemberi kestikleri yerlerde sarmalları numaralandırır.

Hiçbir tohum bir başkasına bağlı değildir; sarmalları göz oluşturur. $k + m$ numaralı tohum, $k$ numaralı tohumdan $m\alpha$ kadar daha fazla dönmüştür. $m\alpha$ tam sayıda tura yakınsa ikisi neredeyse aynı yöne bakar; yarıçapları da yakınsa komşu olurlar. Her tohumu dizide $m$ sıra sonraki tohuma bağlamak, $m$ sarmallı bir aile çizer. Altın açı

ve varsayılan çemberde

olduğundan, sıra numaraları arasında 34 veya 55 fark olan tohumlar birbirine en yakındır; göz 34 ve 55 sarmal görür. Tam tur sayısının biraz altında kalan aile dışa doğru bir yönde sarılırken, biraz üstüne çıkan aile diğer yönde sarılır.

Neden Fibonacci sayıları? $m\alpha$ değerini tam sayıda tura en çok yaklaştıran $m$ değerleri, bir turun kesri olarak yazılan α’nın sürekli kesrinden okunabilir. Altın açı için 2’den sonraki her terim 1’dir,

bu yüzden en iyi kesirli yaklaşımlarının paydaları Fibonacci sayılarıdır. Bu kesirler sırayla α/360°’nin üstünde ve altında kalır; altın açıda iki ailenin ters yönlerde sarılmasının nedeni budur. Çemberin hangi çifti gösterdiği, bulunduğu yere bağlıdır. Sırada $m$ adım aralıklı iki tohumun hem yarıçapı hem yönü biraz farklıdır. Dışa doğru gidildikçe yarıçap farkının etkisi azalır, yön farkının etkisi artar. Bu nedenle daha dışarıda, tohumları sırada daha uzak olsa bile yönü başlangıca daha yakın dönen aile öne geçer; sarmal sayıları da her seferinde bir sonraki Fibonacci sayısına çıkar.

Altın açıya yakın açılar bambaşka görüntüler verebilir; sürekli kesir bunun nedenini söyler. Büyük bir terim, yönün başlangıca alışılmadık ölçüde yakın döndüğünü gösterir; bu da sarmal kollarını belirginleştirebilir. 2’den sonraki tüm terimleri 1 olan altın açı, yönleri eşit dağılımda tutar. Küçük şema ilk tohumların yönlerini bir çember üzerinde gösterir: sayıları kaç olursa olsun, en uzun boşluk en kısanın en fazla $\varphi^2 \approx 2.618$ katıdır.

Bitkiler açı ölçmez; En boş yer de açı belirlemez. Büyüyen uç, her biri bir yaprağın veya küçük çiçeğin taslağı olan primordiyumları art arda oluşturur. Wilhelm Hofmeister 1868’de yeni bir primordiyumun eskiler arasındaki en geniş boşlukta ortaya çıktığını, eskilerin de sonrasında uçtan uzaklaştığını gözlemledi. En boş yer, bu kuralın basitleştirilmiş bir modelini çalıştırır. Varsayılan başlangıçta, iki doğum arasında eski primordiyumlar çok uzağa itildiği sürece her yenisi bir öncekinin karşısında belirir. İtilme miktarı azaldıkça açı 180°’den ayrılır, 137,5° çevresinde salınır ve 137,47° yakınında durulur; sarmal sayıları da Fibonacci sayıları boyunca yükselir. Başka başlangıçlardan aynı kural başka bir değere, örneğin 99,7° yakınına yerleşebilir.