ترتيب الأوراق: تصور تفاعلي

ترتيب الأوراق في هذا التصور

ترتيب الأوراق هو ترتيب الأوراق أو الزهيرات أو البذور على النبات. في قرص دوّار الشمس، تشكّل البذور عائلتين من اللوالب، وغالبًا ما يكون عدداهما عددين متتاليين من أعداد فيبوناتشي. يمكنك هنا عدّ اللوالب في أي موضع من قرص البذور، ورؤية أثر تغيير صغير في الزاوية، ومشاهدة قاعدة لا تحدّد زاوية تصل إلى قيمة قريبة من الزاوية الذهبية. في وضع زاوية ثابتة، تقع البذرة $k$ من أصل $N$ ، بالعدّ من ⁦0⁩، عند

\theta_k = 90^\circ + k\,\alpha, \qquad r_k = R\,\sqrt{\frac{k + \tfrac12}{N}} .

تدور كل بذرة بمقدار ⁦α⁩ أكثر من سابقتها، ويمنح الجذر التربيعي كل بذرة جديدة مساحة حلقة مساوية. أما مدى انتظام توزيع البذور حول الحلقات فيعتمد على الزاوية. هذا هو نموذج هيلموت فوغل لقرص دوّار الشمس (⁦1979⁩).

الدائرة الزرقاء هي موضع العدّ. عندها تجد الصفحة اللوالب التي تراها العين وترسمها بالأصفر: خطوطًا متصلة لعائلة أقرب الجيران، ومتقطّعة للعائلة الأخرى. وتضع أرقامًا عند عبور اللوالب للدائرة.

لا تتصل أي بذرة بأخرى؛ العين هي التي تصنع اللوالب. دارت البذرة $k + m$ بمقدار $m\alpha$ أكثر من البذرة $k$ . عندما يكون $m\alpha$ قريبًا من عدد صحيح من الدورات، تتجه الاثنتان تقريبًا في الاتجاه نفسه. وإذا تقارب نصفا قطريهما أيضًا، تصبحان جارتين. عندئذٍ يرسم وصل كل بذرة بالبذرة التي تليها بعد $m$ مواضع في الترتيب عائلة من $m$ لوالب. الزاوية الذهبية هي

\alpha = \frac{360^\circ}{\varphi^2} \approx 137.508^\circ, \qquad \varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2},

وعلى الدائرة الافتراضية،

34 \times 137.508^\circ \approx 13 \text{ دورة} - 4.7^\circ, \qquad 55 \times 137.508^\circ \approx 21 \text{ دورة} + 2.9^\circ ,

تكون البذور التي تختلف أرقامها بمقدار ⁦34⁩ وبمقدار ⁦55⁩ هي الأقرب، فترى العين ⁦34⁩ لولبًا و⁦55⁩. العائلة التي ينقصها قليل لبلوغ عدد صحيح من الدورات تلتف في اتجاه عند امتدادها إلى الخارج، والتي تتجاوزه قليلًا تلتف في الاتجاه الآخر.

لماذا أعداد فيبوناتشي؟ تُقرأ قيم $m$ التي تجعل $m\alpha$ أقرب ما يكون إلى عدد صحيح من الدورات من الكسر المستمر للزاوية ⁦α⁩ معبّرًا عنها كجزء من دورة. في الزاوية الذهبية، كل حدّ بعد ⁦2⁩ يساوي ⁦1⁩،

\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{1}{\varphi^2} = [0;\, 2, 1, 1, 1, \dots], \qquad \frac12,\ \frac13,\ \frac25,\ \frac38,\ \frac5{13},\ \frac8{21},\ \frac{13}{34},\ \frac{21}{55},\ \dots

لذا فإن مقامات أفضل تقريباتها الكسرية هي أعداد فيبوناتشي. تقع هذه الكسور بالتناوب فوق ⁦α/360°⁩ وتحته، ولهذا تلتف العائلتان في اتجاهين متعاكسين عند الزاوية الذهبية. يعتمد الزوج الظاهر على الدائرة على موضعها. بذرتان تختلفان بمقدار $m$ مواضع في الترتيب تختلفان قليلًا في نصف القطر وقليلًا في الاتجاه. كلما اتجهنا إلى الخارج، قلّ أثر فرق نصف القطر وزاد أثر فرق الاتجاه. لذلك تحلّ في الخارج عائلة يعود اتجاهها أقرب إلى الاتجاه الأصلي، حتى إن كانت بذورها أبعد في الترتيب، وتتقدّم أعداد اللوالب من عدد فيبوناتشي إلى الذي يليه.

قد تنتج الزوايا القريبة من الزاوية الذهبية صورًا مختلفة تمامًا، ويبيّن الكسر المستمر السبب. يشير الحدّ الكبير إلى عودة قريبة على نحو غير معتاد إلى الاتجاه نفسه، ما قد يجعل الأذرع اللولبية بارزة. تحافظ الزاوية الذهبية، التي تساوي كل حدودها بعد ⁦2⁩ العدد ⁦1⁩، على انتظام الاتجاهات. يعرض الرسم الصغير اتجاهات البذور الأولى حول دائرة: مهما كان عددها، لا يزيد طول أكبر فجوة على $\varphi^2 \approx 2.618$ مرة طول أصغر فجوة.

لا تقيس النباتات الزوايا، ولا يحدّد وضع أوسع مكان زاوية. تنتج القمة النامية بادئة بعد أخرى، كل منها برعم أولي لورقة أو زهيرة. في عام ⁦1868⁩، لاحظ فيلهلم هوفمايستر أن البادئة الجديدة تظهر في أكبر فراغ بين البوادئ الأقدم، التي تبتعد بعد ذلك عن القمة. يشغّل أوسع مكان نموذجًا مبسّطًا لهذه القاعدة. من البداية الافتراضية، ما دامت البوادئ الأقدم تُدفع بعيدًا إلى الخارج بين ظهورين متتاليين، تظهر كل بادئة جديدة مقابل سابقتها. ومع تقلّص مقدار الدفع، تبتعد الزاوية عن ⁦180°⁩، وتتأرجح حول ⁦137.5°⁩، وتستقر قرب ⁦137.47°⁩، بينما تتزايد أعداد اللوالب وفق أعداد فيبوناتشي. ومن بدايات أخرى، قد تستقر القاعدة نفسها عند قيمة أخرى، مثل ⁦99.7°⁩ تقريبًا.

مواضيع ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Phyllotaxis (الإنجليزية); ويكيبيديا: Golden angle (الإنجليزية); ويكيبيديا: Three-gap theorem (الإنجليزية).