阿贝尔沙堆

阿贝尔沙堆里，棋盘的每一格装着h(x)粒沙。一格有4粒或更多就满了，可以倒塌，给上下左右的四个邻居各一粒：

送出棋盘边外的沙落进“汇”，就此消失。没有满格的棋盘是稳定的，$h^\circ$表示h一直倒到稳定以后的样子。在这一页，你可以倒沙、按不同的顺序倒塌、把两堆沙加在一起，看一大堆沙留下的花纹。

颜色表示0、1、2、3粒，满了、马上要倒的格对比最强。每个实验都在两块棋盘上进行。主画面按你选的方式倒：沙一边落下一边倒，满格随机地倒，或者你自己一格一格点。面板顶上的对照棋盘一次放下同样的沙，每一轮让所有满格一起倒。两块都稳定以后，页面逐格比较粒数和每格倒了几次。“倒塌次数”按这个次数给每格上色。

为什么两块棋盘总是一样？一格倒塌从不拿走别的格的沙，只往邻居那里加。所以两格都满时，倒了其中一格，另一格还是满的；两格都倒，不论先后，加到棋盘上的都是同样两份增减。倒塌也一定会停：要是有一格一直倒下去，它的邻居也会一直倒，一直传到边上，沙就漏光了。两件事合起来就是阿贝尔性质：不论怎样倒到稳定，终局都一样，每一格倒的次数也一样。

若x格倒了u(x)次，它给每个邻居送出u(x)粒，又从每个邻居y收到u(y)粒，所以

其中h包括起始的沙和全部加入的沙，边外取u = 0，Δ是离散拉普拉斯算子。

记$a \oplus b = (a + b)^\circ$：两堆沙逐格相加，再倒到稳定。因为顺序无关，在倒稳的沙堆上再倒第二堆，和两堆一起倒下去，结局相同，“两处倒入”演示的就是这个。有些稳定状态会一再出现：一个状态如果从任何状态出发、加沙再倒都能得到，就叫常返状态。常返状态在⊕下组成一个群，起始状态“单位元”显示的就是这个群的单位元e。把e加到任何常返状态r上，得到的还是r；e加上自己，还是e。

“倒塌次数”和粒数的画面完全不像。在空的平面上一格倒入一堆沙，倒塌次数是一座光滑的山，等高线近乎圆。离开倒沙的那一格，h = 0，上面的公式就成了$\Delta u = h^\circ$。最后的粒数只在0到3之间，记下的是这座山极小的弯曲，而u本身有几万。粒数形成一块块重复的花样，弯弯的条带夹在其间。

Bak、Tang和Wiesenfeld在1987年提出这个模型，作为自组织临界性的例子；Dhar在1990年发现了它的阿贝尔性质。