参数曲面

参数曲面是一个映射$r(u, v)$，把一张平的参数矩形里的每个点$P = (u, v)$送到空间里的一个点；所有像点合起来就是曲面。固定v、让u变，$r$在曲面上画出一条曲线，叫u线，和参数曲线一样；固定u得到v线。两组线织成玻璃上刻的网格，也就是下面矩形里那套网格的像。在球面上，u是经度，v从南极往上量，所以u线就是纬线圈。

这五个例子里，矩形内部不同的点落到曲面上不同的点。边就不一样了。圆柱、球面、环面上$r(0, v) = r(2\pi, v)$：左右两条边落在同一条曲线上，矩形被粘成一根管子；环面还把上下两条边也粘起来。莫比乌斯带两端翻过来粘：$r(2\pi, v) = r(0, -v)$。球面上，整条下边都到了南极，整条上边都到了北极。矩形边上的箭头标出哪两条边粘在一起、朝哪个方向粘。

偏导数$r_u$、$r_v$是沿过P的u线和v线走的速度。$r_u \times r_v \ne 0$时，它们张成$r(P)$处的切平面，$r_u \times r_v$是切平面的法向量。$r_u \times r_v = 0$的地方，参数化退化：球面两极处$r_u = 0$，因为一整条边被挤成了一个点。球面本身在那里完全光滑，和别处一样有切平面；坏掉的只是这一套参数。

在P附近，$r(u + \Delta u, v + \Delta v)$ $\approx r(u, v) + r_u\,\Delta u + r_v\,\Delta v$。所以一个小格子$\Delta u \times \Delta v$变成的一小片，和以$r_u\,\Delta u$、$r_v\,\Delta v$为边的平行四边形（旁边的虚线）很接近。叉积的长度就是两个向量张成的平行四边形的面积，所以这一小片的面积约为$|r_u \times r_v|\,\Delta u\,\Delta v$。面积放大倍数是$|r_u \times r_v| = |r_u|\,|r_v| \sin\theta$，θ是两条参数线的夹角；只有两条线成直角的地方，它才等于$|r_u|\,|r_v|$。把小块调小，格子缩到无穷小时，读数“小块面积 ÷ ΔuΔv”趋于放大倍数。像这几个例子这样、除边以外只把曲面盖一遍的参数化，把所有小格子加起来就是曲面面积$\iint_D |r_u \times r_v|\,du\,dv$，这是曲面积分的起点。