Surface paramétrée

Une surface paramétrée est une application $r(u, v)$ qui envoie chaque point $P = (u, v)$ d’un rectangle plan de paramètres sur un point de l’espace ; la surface est l’ensemble de tous ces points images. Fixez v et faites varier u : $r$ trace une courbe sur la surface, une ligne u, comme une courbe paramétrée. Fixez u et vous obtenez une ligne v. Ensemble, elles tissent le quadrillage gravé sur le verre, image de celui du rectangle situé en dessous. Sur la sphère, u est la longitude et v est mesuré en remontant depuis le pôle Sud : les lignes u sont donc les parallèles.

Dans ces cinq exemples, des points distincts à l’intérieur du rectangle aboutissent à des points distincts de la surface. Il en va autrement sur les bords. Sur le cylindre, la sphère et le tore, $r(0, v) = r(2\pi, v)$ : les bords gauche et droit aboutissent à la même courbe, et le rectangle est recollé en tube. Le tore recolle aussi ses bords supérieur et inférieur. Le ruban de Möbius recolle ses extrémités après retournement, $r(2\pi, v) = r(0, -v)$. Sur la sphère, tout le bord inférieur aboutit au pôle Sud, et tout le bord supérieur au pôle Nord. Les flèches sur les côtés du rectangle indiquent quels bords sont recollés et dans quel sens.

Les dérivées partielles $r_u$ et $r_v$ sont les vitesses le long de la ligne u et de la ligne v passant par P. Lorsque $r_u \times r_v \ne 0$, elles engendrent le plan tangent en $r(P)$, et $r_u \times r_v$ est un vecteur normal à ce plan. Lorsque $r_u \times r_v = 0$, la paramétrisation est singulière : aux pôles de la sphère, $r_u = 0$, car un bord entier a été réduit à un point. La sphère elle-même y est parfaitement lisse et possède un plan tangent comme partout ailleurs ; seul ce choix de paramètres cesse de fonctionner.

Près de P, $r(u + \Delta u, v + \Delta v)$ $\approx r(u, v) + r_u\,\Delta u + r_v\,\Delta v$. Une petite maille $\Delta u \times \Delta v$ devient donc un morceau proche du parallélogramme de côtés $r_u\,\Delta u$ et $r_v\,\Delta v$, dessiné en pointillés à côté. La longueur d’un produit vectoriel est l’aire du parallélogramme engendré par ses vecteurs : l’aire de ce morceau vaut donc environ $|r_u \times r_v|\,\Delta u\,\Delta v$. Le facteur d’aire est $|r_u \times r_v| = |r_u|\,|r_v| \sin\theta$, où θ est l’angle entre les lignes de paramètres ; il n’est égal à $|r_u|\,|r_v|$ que lorsqu’elles se coupent à angle droit. Réduisez la taille de la maille : l’affichage « aire de la maille ÷ ΔuΔv » se rapproche du facteur d’aire lorsque la maille devient infinitésimale. Pour une paramétrisation comme celles-ci, qui couvre la surface une seule fois sauf sur les bords, additionner les mailles donne l’aire de la surface $\iint_D |r_u \times r_v|\,du\,dv$ : c’est le point de départ des intégrales de surface.