매개변수 곡면

매개변수 곡면은 평평한 매개변수 직사각형의 각 점 $P = (u, v)$을 공간의 한 점으로 보내는 함수 $r(u, v)$입니다. 곡면은 모든 점의 상을 모은 집합입니다. v를 고정하고 u를 변화시키면 $r$이 매개변수 곡선처럼 곡면 위에 u선을 그립니다. u를 고정하면 v선이 됩니다. 두 종류의 선이 유리에 새긴 격자를 이루며, 이는 아래 직사각형 격자의 상입니다. 구면에서 u는 경도이고 v는 남극에서 위쪽으로 잰 각도이므로, u선은 위도선인 원입니다.

이 다섯 예에서는 직사각형 내부의 서로 다른 점들이 곡면의 서로 다른 점으로 갑니다. 경계에서는 다릅니다. 원기둥, 구면, 토러스에서는 $r(0, v) = r(2\pi, v)$입니다. 왼쪽과 오른쪽 변이 같은 곡선에 놓여 직사각형을 관처럼 붙이게 됩니다. 토러스는 위쪽과 아래쪽 변도 붙입니다. 뫼비우스 띠는 양 끝을 뒤집어서 붙여 $r(2\pi, v) = r(0, -v)$이 됩니다. 구면에서는 아래쪽 변 전체가 남극으로, 위쪽 변 전체가 북극으로 갑니다. 직사각형 변의 화살표는 어떤 변을 어느 방향으로 붙이는지 보여 줍니다.

편도함수 $r_u$와 $r_v$은 P를 지나는 u선과 v선을 따라 움직이는 속도입니다. $r_u \times r_v \ne 0$이면 두 벡터가 $r(P)$에서의 접평면을 만들고 $r_u \times r_v$는 그 평면의 법선벡터입니다. $r_u \times r_v = 0$인 곳에서는 매개화가 퇴화합니다. 구면의 극점에서는 변 전체가 한 점으로 모여 $r_u = 0$입니다. 구면 자체는 그곳에서도 완전히 매끄럽고 다른 점처럼 접평면이 있습니다. 이 매개변수 선택만 그곳에서 제대로 작동하지 않는 것입니다.

P 근처에서는 $r(u + \Delta u, v + \Delta v)$ $\approx r(u, v) + r_u\,\Delta u + r_v\,\Delta v$입니다. 따라서 작은 칸 $\Delta u \times \Delta v$는 두 변이 $r_u\,\Delta u$와 $r_v\,\Delta v$인 평행사변형에 가까운 곡면 조각이 됩니다. 그 평행사변형은 옆에 점선으로 그립니다. 외적의 길이는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이이므로 조각의 넓이는 약 $|r_u \times r_v|\,\Delta u\,\Delta v$입니다. 넓이 확대 비율은 $|r_u \times r_v| = |r_u|\,|r_v| \sin\theta$이며, θ는 매개변수 선 사이의 각입니다. 두 선이 직각으로 만날 때만 $|r_u|\,|r_v|$와 같습니다. 칸 크기를 줄이면 “작은 칸의 넓이 ÷ ΔuΔv”가 칸이 무한히 작아짐에 따라 넓이 확대 비율에 가까워집니다. 여기처럼 경계를 제외하고 곡면을 한 번 덮는 매개화에서는 칸들을 더해 곡면의 넓이 $\iint_D |r_u \times r_v|\,du\,dv$를 얻습니다. 곡면적분의 출발점입니다.