Параметрическая поверхность

Параметрическая поверхность — это отображение $r(u, v)$, переводящее каждую точку $P = (u, v)$ плоского прямоугольника параметров в точку пространства. Поверхность — множество всех образов точек. Зафиксируйте v и меняйте u: $r$ описывает кривую на поверхности, u-линию, как обычная параметрическая кривая. Зафиксировав u, получите v-линию. Вместе они образуют выгравированную на стекле сетку — образ сетки прямоугольника под ним. На сфере u — долгота, а v отсчитывается вверх от южного полюса, поэтому u-линии являются параллелями.

Во всех пяти примерах разные точки внутри прямоугольника переходят в разные точки поверхности. С краями иначе. На цилиндре, сфере и торе $r(0, v) = r(2\pi, v)$: левый и правый края попадают на одну кривую, и прямоугольник склеивается в трубку. У тора склеиваются также верхний и нижний края. Лента Мёбиуса склеивает концы с переворотом, $r(2\pi, v) = r(0, -v)$. На сфере весь нижний край переходит в южный полюс, а весь верхний — в северный. Стрелки на сторонах прямоугольника показывают, какие края и в каком направлении склеиваются.

Частные производные $r_u$ и $r_v$ — скорости вдоль u-линии и v-линии через P. При $r_u \times r_v \ne 0$ они натягивают касательную плоскость в $r(P)$, а $r_u \times r_v$ — нормальный вектор к ней. Там, где $r_u \times r_v = 0$, параметризация имеет особенность: на полюсах сферы $r_u = 0$, потому что целый край стянулся в точку. Сама сфера там совершенно гладкая и имеет касательную плоскость, как в любом другом месте. Перестаёт работать только этот выбор параметров.

Вблизи P, $r(u + \Delta u, v + \Delta v)$ $\approx r(u, v) + r_u\,\Delta u + r_v\,\Delta v$. Поэтому маленькая ячейка $\Delta u \times \Delta v$ превращается в участок, близкий к параллелограмму со сторонами $r_u\,\Delta u$ и $r_v\,\Delta v$, показанному рядом пунктиром. Длина векторного произведения равна площади параллелограмма, натянутого на его векторы, так что площадь участка примерно равна $|r_u \times r_v|\,\Delta u\,\Delta v$. Множитель площади равен $|r_u \times r_v| = |r_u|\,|r_v| \sin\theta$, где θ — угол между параметрическими линиями. Он равен $|r_u|\,|r_v|$ только при пересечении под прямым углом. Уменьшайте размер ячейки: показание «площадь ячейки ÷ ΔuΔv» приближается к множителю площади по мере того, как ячейка становится бесконечно малой. Для таких параметризаций, покрывающих поверхность один раз за исключением краёв, суммирование ячеек даёт площадь поверхности $\iint_D |r_u \times r_v|\,du\,dv$ — отправную точку для поверхностных интегралов.