Superficie parametrica

Una superficie parametrica è una mappa $r(u, v)$ che manda ogni punto $P = (u, v)$ di un rettangolo piano di parametri in un punto dello spazio; la superficie è l’insieme di tutti i punti immagine. Tieni fisso v e fai variare u: $r$ traccia una curva sulla superficie, una linea u, proprio come una curva parametrica. Tenendo fisso u ottieni una linea v. Insieme formano la griglia incisa sul vetro, immagine di quella nel rettangolo sottostante. Sulla sfera u è la longitudine e v si misura salendo dal polo sud, quindi le linee u sono i paralleli.

In questi cinque esempi, punti distinti all’interno del rettangolo vanno a punti distinti della superficie. Ai bordi è diverso. Sul cilindro, sulla sfera e sul toro vale $r(0, v) = r(2\pi, v)$: i bordi sinistro e destro finiscono sulla stessa curva e il rettangolo viene incollato formando un tubo. Il toro incolla anche i bordi superiore e inferiore. Il nastro di Möbius incolla le estremità invertendo l’orientazione, $r(2\pi, v) = r(0, -v)$. Sulla sfera l’intero bordo inferiore va al polo sud e l’intero bordo superiore al polo nord. Le frecce sui lati del rettangolo indicano quali bordi sono incollati e in quale verso.

Le derivate parziali $r_u$ e $r_v$ sono le velocità lungo le linee u e v passanti per P. Quando $r_u \times r_v \ne 0$, generano il piano tangente in $r(P)$ e $r_u \times r_v$ è un vettore normale a esso. Dove $r_u \times r_v = 0$, la parametrizzazione è singolare: ai poli della sfera $r_u = 0$, perché un intero bordo è stato ridotto a un punto. La sfera è perfettamente liscia in quei punti e ha un piano tangente come altrove; è solo questa scelta dei parametri a non funzionare.

Vicino a P, $r(u + \Delta u, v + \Delta v)$ $\approx r(u, v) + r_u\,\Delta u + r_v\,\Delta v$. Una piccola cella $\Delta u \times \Delta v$ diventa quindi una porzione vicina al parallelogramma con lati $r_u\,\Delta u$ e $r_v\,\Delta v$, disegnato tratteggiato accanto a essa. La lunghezza di un prodotto vettoriale è l’area del parallelogramma generato dai suoi vettori, quindi l’area della porzione è circa $|r_u \times r_v|\,\Delta u\,\Delta v$. Il fattore di area è $|r_u \times r_v| = |r_u|\,|r_v| \sin\theta$, dove θ è l’angolo tra le linee parametriche; è uguale a $|r_u|\,|r_v|$ solo quando si incontrano ad angolo retto. Riduci la dimensione della cella: l’indicatore «area della cella ÷ ΔuΔv» si avvicina al fattore di area mentre la cella diventa infinitesima. Per una parametrizzazione come queste, che ricopre la superficie una sola volta salvo ai bordi, sommare le celle dà l’area della superficie $\iint_D |r_u \times r_v|\,du\,dv$, il punto di partenza degli integrali di superficie.