Nastro di Möbius

L’immagine mostra una striscia incollata ad anello dopo 0, 1, 2 o 3 mezzi giri di torsione. Con mezzo giro è un nastro di Möbius. La piccola vista sopra il pannello mostra la stessa carta tagliata e distesa; mentre dipingi, il davanti e il retro compaiono su due righe. Qui puoi dipingere il nastro, farvi camminare una freccia e tagliarlo, per vedere quali risultati dipendono soltanto dal fatto che il numero di mezzi giri sia pari o dispari, e quali dal numero esatto.

Il fatto che il nastro abbia una sola faccia dipende da come le facce si incontrano alle estremità incollate. Con un numero pari di mezzi giri, il davanti si incolla al davanti e il retro al retro: ogni faccia si chiude su sé stessa. Il rullo fa un giro sulla propria faccia e non può raggiungere l’altra senza oltrepassare un bordo: due facce. Con un numero dispari, l’estremità destra del davanti si incolla capovolta all’estremità sinistra del retro, unendo le due facce in un’unica striscia lunga il doppio. Dopo un giro il rullo è tornato alla partenza, ma sull’altra faccia; dopo il secondo, entrambe sono dipinte. Non ha mai oltrepassato un bordo, quindi le due facce sono una sola.

Il rullo vede il foglio dall’esterno. La freccia è impressa nella carta e visibile in trasparenza, come la vedrebbe una creatura che vive nella carta. Dopo un giro sulla linea mediana di un nastro di Möbius, torna alla partenza ruotando in senso antiorario, in contrasto con la sua immagine iniziale che ruota in senso orario. Fuori dalla linea mediana arriva invece al punto corrispondente dall’altra parte. Una superficie sulla quale un percorso chiuso trasforma il senso orario in antiorario si dice non orientabile. Per una superficie nello spazio ordinario, ciò equivale ad avere una sola faccia. L’orientabilità, però, appartiene alla superficie stessa: anche una creatura che non può lasciare la carta può scoprirla camminando.

Con Distanza dal centro impostata a 1, la freccia cammina lungo un bordo. Sul nastro di Möbius un giro porta a quello che sembra l’altro bordo, e solo due giri riportano alla partenza: c’è un solo bordo. Con tre mezzi giri di torsione, quell’unico bordo forma un nodo a trifoglio, il nodo più semplice. Con un numero pari $k$ ci sono due bordi, concatenati $k/2$ volte.

Taglia un nastro di Möbius lungo il centro e non si dividerà in due. La carta ai due lati del taglio si unisce alla giuntura, il lato superiore con quello inferiore, formando un nastro lungo che fa due giri, con due facce e due bordi. I suoi bordi sono concatenati due volte. Se si dispone la linea mediana in un cerchio piano, ogni concatenazione corrisponde a un giro intero di torsione: il nastro lungo ne ha dunque due.

Taglia un nastro di Möbius a un terzo della larghezza dal bordo: alle forbici servono due giri per tornare. Nella piccola vista, le due linee ai lati della linea mediana si uniscono alla giuntura in un unico taglio. Al centro rimane un nastro di Möbius più sottile, mentre le due fasce esterne si uniscono in un nastro lungo; i due pezzi sono concatenati una volta. Su un nastro con un numero pari di mezzi giri, ogni taglio si chiude dopo un giro e aggiunge semplicemente un pezzo.

Il numero di mezzi giri svolge dunque due ruoli. Essere pari o dispari determina la superficie: considerate da sole, senza lo spazio circostante, tutte le strisce dispari sono la stessa superficie, con una faccia e un bordo; anche tutte quelle pari sono uguali tra loro. Il numero esatto determina come la superficie si colloca nello spazio: come i suoi bordi si concatenano o si annodano. Nessun movimento nello spazio può sciogliere questi legami senza far passare la carta attraverso sé stessa.

August Ferdinand Möbius e Johann Benedict Listing scoprirono il nastro indipendentemente nel 1858.