شريط موبيوس

تُظهر الصورة شريطًا لُصق في حلقة بعد لَيّه ⁦0⁩ أو ⁦1⁩ أو ⁦2⁩ أو ⁦3⁩ أنصاف لفات. بنصف لفة واحدة يصبح شريط موبيوس. المنظر الصغير فوق اللوحة هو الورقة نفسها بعد فتحها وفردها؛ وعند الطلاء يعرض الوجه الأمامي والخلفي في صفّين. يمكنك هنا طلاء الشريط، وتسيير سهم عليه، وقصّه، لترى ما يعتمد فقط على كون عدد أنصاف اللفات فرديًا أو زوجيًا، وما يعتمد على العدد نفسه.

كون الشريط ذا وجه واحد يعتمد على كيفية التقاء وجهيه عند الطرفين الملتصقين. إذا كان عدد أنصاف اللفات زوجيًا، يُلصق الأمامي بالأمامي والخلفي بالخلفي، فيغلق كل وجه على نفسه. تدور الأسطوانة دورة واحدة على وجهها ولا تستطيع الوصول إلى الآخر دون عبور حافة: وجهان. إذا كان العدد فرديًا، يُلصق الطرف الأيمن للأمامي بالطرف الأيسر للخلفي بعد قلبه رأسًا على عقب، فيتصل الوجهان في شريط واحد بطول مضاعف. بعد دورة واحدة، تعود الأسطوانة إلى موضع البداية، لكن على الوجه الآخر؛ وبعد الثانية يكون الوجهان مطليين. لم تعبر أي حافة، إذن الوجهان وجه واحد.

تنظر الأسطوانة من خارج الورقة. أما السهم فمطبوع داخلها، ويُرى عبرها كما يراه كائن يعيش في الورقة. إذا سار دورة واحدة على خط منتصف شريط موبيوس، عاد إلى موضع انطلاقه دائرًا عكس عقارب الساعة، خلافًا لظلّه الأول الذي يدور معها. وإذا ابتعد عن خط المنتصف، وصل بدلًا من ذلك إلى النقطة المقابلة على الجانب الآخر منه. السطح الذي يحوّل فيه مسار مغلق ما الدوران مع عقارب الساعة إلى عكسها يُسمّى غير قابل للتوجيه. بالنسبة إلى سطح في الفضاء المعتاد، يعادل ذلك كونه أحادي الجانب. لكن قابلية التوجيه تخصّ السطح نفسه: حتى كائن لا يستطيع مغادرة الورقة يمكنه اكتشافها بالسير.

عند ضبط البعد عن المنتصف على ⁦1⁩، يسير السهم على حافة. في شريط موبيوس، تقوده دورة واحدة إلى ما يبدو الحافة الأخرى، ولا يعود إلا بعد دورتين: هناك حافة واحدة. مع ثلاثة أنصاف لفات، تشكّل هذه الحافة الوحيدة عقدة ثلاثية الفصوص، أبسط عقدة. ومع عدد زوجي $k$، توجد حافتان تتشابكان $k/2$ مرة.

اقصص شريط موبيوس على طول المنتصف، ولن ينفصل إلى قطعتين. الورق على جانبي القصّ متصل عند الوصلة، الجانب العلوي بالسفلي، ليشكّل شريطًا طويلًا واحدًا يدور مرتين، بوجهين وحافتين. تتشابك حافتاه مرتين. إذا جُعل خط منتصفه دائرة مستوية، تقابل كل مرة تشابك لفة كاملة من الالتواء؛ لذا فالشريط الطويل ملتف لفتين كاملتين.

اقصص شريط موبيوس على بُعد ثلث عرضه من حافة الشريط، وسيحتاج المقصّ إلى دورتين ليعود. الخطان على جانبي خط المنتصف في المنظر الصغير يتصلان عند الوصلة ليشكّلا قصًّا واحدًا. يبقى في الوسط شريط موبيوس أضيق، ويتصل الشريطان الجانبيان ليشكّلا شريطًا طويلًا؛ والقطعتان متشابكتان مرة واحدة. في الشريط ذي العدد الزوجي من أنصاف اللفات، يُغلق كل قصّ بعد دورة واحدة، ويضيف قطعة واحدة فقط.

إذن لعدد أنصاف اللفات وظيفتان. فرديته أو زوجيته تحدّد السطح: إذا نظرنا إلى السطوح وحدها، دون الفضاء المحيط، فجميع الأشرطة الفردية متماثلة، بوجه واحد وحافة واحدة؛ وكذلك جميع الأشرطة الزوجية متماثلة فيما بينها. أما العدد الدقيق فيحدّد كيف يستقرّ السطح في الفضاء: كيف تتشابك حوافه أو تنعقد. لا تستطيع أي حركة في الفضاء فكّ ذلك دون أن يمرّ الورق عبر نفسه.

اكتشف أوغست فرديناند موبيوس ويوهان بنديكت ليستينغ هذا الشريط، كلٌّ على حدة، عام ⁦1858⁩.