Pita Möbius

Gambar menunjukkan pita yang direkatkan menjadi lingkaran setelah diberi 0, 1, 2, atau 3 kali setengah putaran pilinan. Dengan sekali pilinan setengah putaran, jadilah pita Möbius. Tampilan kecil di atas panel adalah kertas yang sama, dibuka dan diratakan; saat diwarnai, muka depan dan belakang ditampilkan dalam dua baris. Di sini kamu bisa mewarnai pita, menjalankan panah di sepanjangnya, dan memotongnya, lalu melihat hasil mana yang hanya bergantung pada ganjil-genapnya jumlah setengah putaran pilinan, dan mana yang bergantung pada jumlah itu sendiri.

Apakah pita bersisi satu bergantung pada cara kedua mukanya bertemu di ujung yang direkatkan. Jika jumlah setengah putaran pilinan genap, depan direkatkan ke depan dan belakang ke belakang, sehingga setiap muka menutup sendiri. Rol mengelilingi mukanya satu kali dan tidak bisa mencapai muka lain tanpa melewati tepi: dua sisi. Jika jumlahnya ganjil, ujung kanan muka depan direkatkan ke ujung kiri muka belakang dengan atas dan bawah terbalik. Kedua muka bergabung menjadi satu pita dengan panjang dua kali lipat. Setelah satu putaran, rol kembali ke tempat awal tetapi di muka yang lain; setelah putaran kedua, kedua muka sudah diwarnai. Rol tidak pernah melewati tepi, jadi kedua sisi itu satu.

Rol melihat kertas dari luar. Panah tercetak di dalam kertas dan terlihat tembus, seperti yang dilihat makhluk yang hidup di dalam kertas. Setelah berjalan satu putaran sepanjang garis tengah pita Möbius, panah kembali ke titik awal dengan putaran berlawanan arah jarum jam, berlawanan dengan bayangan awalnya. Jika berjalan menjauhi garis tengah, panah berakhir di titik padanannya di seberang garis itu. Permukaan yang memiliki lintasan tertutup yang mengubah putaran searah jarum jam menjadi berlawanan disebut tak dapat diorientasikan. Untuk permukaan di ruang biasa, ini sama dengan memiliki satu sisi. Namun, dapat tidaknya diorientasikan merupakan sifat permukaan itu sendiri: makhluk yang tidak bisa meninggalkan kertas pun dapat menemukannya dengan berjalan.

Saat Jarak dari tengah diatur ke 1, panah berjalan di sepanjang tepi. Pada pita Möbius, satu putaran membawa panah ke tempat yang tampak seperti tepi lain, dan perlu dua putaran untuk kembali: hanya ada satu tepi. Dengan tiga kali setengah putaran pilinan, tepi tunggal itu membentuk simpul trefoil, simpul paling sederhana. Jika jumlah $k$ genap, ada dua tepi yang bertaut $k/2$ kali.

Potong pita Möbius di sepanjang tengahnya, dan pita itu tidak terbelah menjadi dua. Kertas di kedua sisi potongan tersambung di sambungan, sisi atas ke sisi bawah, menjadi satu pita panjang yang mengelilingi dua kali, dengan dua sisi dan dua tepi. Kedua tepinya bertaut dua kali. Jika garis tengahnya ditata menjadi lingkaran datar, setiap pertautan bersesuaian dengan satu putaran pilinan penuh, jadi pita panjang itu memiliki dua putaran pilinan penuh.

Potong pita Möbius pada jarak sepertiga lebarnya dari tepi, dan gunting perlu dua putaran untuk kembali. Dua garis di kedua sisi garis tengah pada tampilan kecil tersambung menjadi satu potongan pada sambungan. Potongan itu menyisakan pita Möbius yang lebih tipis di tengah, sementara kedua bagian pinggir bergabung menjadi pita panjang; kedua bagian itu bertaut sekali. Pada pita dengan jumlah setengah putaran pilinan genap, setiap potongan menutup setelah satu putaran dan hanya menambah satu bagian.

Jadi, jumlah setengah putaran pilinan memiliki dua tugas. Ganjil atau genapnya menentukan permukaan: sebagai permukaan saja, tanpa ruang di sekitarnya, semua pita ganjil sama, bersisi satu dengan satu tepi; semua pita genap juga sama satu sama lain. Jumlah tepatnya menentukan bagaimana permukaan berada di ruang: bagaimana tepinya bertaut atau bersimpul. Tidak ada gerakan di ruang yang bisa melepaskannya tanpa membuat kertas menembus dirinya sendiri.

August Ferdinand Möbius dan Johann Benedict Listing menemukan pita ini secara terpisah pada 1858.