Cinta de Möbius

La imagen muestra una tira pegada en forma de anillo después de darle 0, 1, 2 o 3 medias torsiones. Con una media torsión es una cinta de Möbius. La pequeña vista sobre el panel muestra el mismo papel cortado y desplegado en plano; al pintar, aparecen el anverso y el reverso en dos filas. Aquí puedes pintar la cinta, hacer caminar una flecha sobre ella y cortarla. Así ves qué resultados dependen solo de si el número de medias torsiones es par o impar y cuáles dependen del número exacto.

Que la cinta tenga una sola cara depende de cómo se unen sus caras en los extremos pegados. Con un número par de medias torsiones, el anverso se pega al anverso y el reverso al reverso, de modo que cada cara se cierra sobre sí misma. El rodillo da una vuelta sobre su cara y no puede alcanzar la otra sin cruzar un borde: dos caras. Con un número impar, el extremo derecho del anverso se pega, boca abajo, al extremo izquierdo del reverso, y las dos caras forman una sola banda del doble de longitud. Tras una vuelta, el rodillo está en el punto de partida, pero por la otra cara; tras la segunda, ambas están pintadas. Nunca ha cruzado un borde, así que las dos caras son una.

El rodillo ve el papel desde fuera. La flecha está impresa en el papel y se ve a su través, como la vería una criatura que viviera dentro de él. Tras una vuelta por la línea central de una cinta de Möbius, vuelve al punto de partida girando en sentido antihorario, al contrario que su imagen inicial. Si se aparta de la línea central, llega al punto correspondiente al otro lado de ella. Una superficie en la que algún recorrido cerrado transforma el sentido horario en antihorario se llama no orientable. Para una superficie en el espacio ordinario, esto equivale a tener una sola cara. Pero la orientabilidad pertenece a la superficie en sí: una criatura que no pueda salir del papel también puede descubrirla caminando.

Con Distancia al centro en 1, la flecha camina por un borde. En una cinta de Möbius, una vuelta lleva a lo que parece el otro borde y solo tras dos se vuelve al inicio: hay un solo borde. Con tres medias torsiones, ese borde forma un nudo de trébol, el nudo más sencillo. Con un número par $k$ hay dos bordes, enlazados $k/2$ veces.

Corta una cinta de Möbius por el centro y no se separará en dos. El papel a ambos lados del corte se une en la costura, el lado de arriba con el de abajo, formando una cinta larga que da dos vueltas y tiene dos caras y dos bordes. Sus dos bordes están enlazados dos veces. Si se dispone su línea central como un círculo plano, cada enlace corresponde a una torsión completa, así que la cinta larga tiene dos torsiones completas.

Corta una cinta de Möbius a un tercio de su ancho desde un borde: las tijeras necesitan dos vueltas para regresar. Las dos líneas a ambos lados de la línea central en la pequeña vista se unen en la costura para formar un solo corte. En el centro queda una cinta de Möbius más fina, y las dos franjas exteriores se unen en una cinta larga; las dos piezas están enlazadas una vez. En una cinta con un número par de medias torsiones, cada corte se cierra tras una vuelta y simplemente añade una pieza.

El número de medias torsiones tiene, por tanto, dos funciones. Que sea par o impar determina la superficie: como superficies, sin el espacio que las rodea, todas las cintas impares son iguales, con una cara y un borde; las pares también son todas iguales entre sí. El número exacto determina cómo se sitúa la superficie en el espacio: cómo se enlazan o se anudan sus bordes. Ningún movimiento en el espacio puede deshacerlos sin que el papel atraviese su propia superficie.

August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing descubrieron la cinta de forma independiente en 1858.