Teseracto

El teseracto en esta visualización

El teseracto es el conjunto de puntos $(x, y, z, w)$ con cada coordenada entre $-1$ y $1$: un cubo con una dirección más. Al desplazar un punto se obtiene un segmento; al desplazar el segmento, un cuadrado; el cuadrado, un cubo; y el cubo —en una cuarta dirección perpendicular a las otras tres—, un teseracto. Cada paso duplica los vértices; el cubo de $n$ dimensiones tiene $\binom{n}{k}2^{n-k}$ caras de dimensión $k$, por lo que el teseracto tiene 16 vértices, 32 aristas, 24 cuadrados y 8 cubos, sus celdas. Las 8 celdas forman su frontera, del mismo modo que los 6 cuadrados forman la superficie de un cubo.

Qué muestra la imagen

La imagen grande es una sombra. Una lámpara se sitúa sobre el eje $w$ a una distancia $d$ del centro, y cada punto del teseracto proyecta su sombra en nuestro espacio $w = 0$:

Esta es una proyección central, la versión en cuatro dimensiones de una lámpara sobre un cubo de alambre que proyecta su sombra sobre la mesa: la pantalla de la parte superior del panel muestra ese cubo. La sombra es un objeto tridimensional; la pantalla lo muestra después desde un lado, en una segunda proyección. Arrastrar la imagen solo cambia esa segunda proyección.

El panel gira el propio teseracto. En cuatro dimensiones, una rotación gira en un plano: de los seis planos coordenados, los tres que contienen $w$ (XW, YW, ZW) cambian la forma de la sombra; los giros en XY, XZ e YZ solo giran la sombra, que es lo que hace el arrastre. XY+ZW gira en dos planos a la vez.

La celda azul es la que sigues. Su nombre, como w−, es una etiqueta propia del objeto (la celda donde su propia coordenada $w$ vale $-1$), que se conserva independientemente de cómo gire. El botón rojo Media vuelta gira el teseracto 180° en el plano elegido a velocidad constante y deja las trayectorias de los vértices de la celda en seguimiento, con una marca cada 15°, es decir, a intervalos de tiempo iguales.

El selector de modo ofrece otras dos formas de verlo. Sección: nuestro espacio $w = t$ corta el teseracto en su orientación actual. El corte es un sólido dibujado a su tamaño real, dentro de la sombra tenue que proyecta la luz paralela a lo largo de $w$ (el corte está en el hiperplano $w = t$, por lo que eliminar $w$ lo desplaza sin modificarlo). Es un sólido real en nuestro espacio, así que se dibuja tal como veríamos uno: vidrio iluminado por una luz ordinaria de aquí. El botón rojo Barrido hace variar $t$ a velocidad constante y deja una fila de cortes a intervalos iguales. La integral de los volúmenes $V(t)$ de los cortes da el volumen cuatridimensional del teseracto: $\int V\,dt = 2^4 = 16$.

Desarrollo: ocho cubos dispuestos en nuestro espacio en forma de cruz, la figura que Salvador Dalí pintó en Corpus Hypercubus (1954), se pliegan alrededor de sus cuadrados compartidos hacia la cuarta dimensión. La cruz desplegada está en el hiperplano $w = 1$, por lo que su sombra es la cruz ampliada $d/(d-1)$ veces: fiel en forma y proporción, no en tamaño. A 90° los cubos se cierran formando el teseracto, y el cubo inferior de la cruz se convierte en el cubo pequeño dentro de la sombra.

Por qué el cubo interior es pequeño

En la orientación estándar, dos celdas se presentan sin inclinación respecto a la lámpara: $w = 1$, más cercana, y $w = -1$, más lejana. Una celda a altura $w$ se amplía $d/(d - w)$ veces, por lo que sus sombras son cubos de aristas $2d/(d-1)$ y $2d/(d+1)$: el famoso cubo dentro de otro cubo. Las otras seis celdas van de uno al otro y sus sombras parecen cajas inclinadas; las ocho son cubos iguales.

Un giro en el plano XW lleva cuatro celdas a recorrer un ciclo —de $w-$ a $x+$, a $w+$ y a $x-$— y hace girar las otras cuatro sobre sí mismas, igual que un cubo que gira ante la lámpara lleva su cara inferior al lateral y después a la parte superior. Cada vértice se mueve sobre una circunferencia; la sombra de una circunferencia es una elipse, o un segmento cuando la luz es paralela o el plano de la circunferencia pasa por la lámpara.

Girar en XY y ZW a la vez y a la misma velocidad mueve todos los puntos salvo el centro, cada uno el mismo ángulo (hasta 180°). Media vuelta lleva cada punto al lado opuesto del centro: la aplicación $-I$. En tres dimensiones, $-I$ es una simetría central; allí toda rotación mantiene fijo un eje.

La luz de la lámpara

La lámpara también ilumina el teseracto, como una lámpara ilumina un cubo. La ley del coseno de Lambert se cumple en cualquier dimensión: un fragmento de superficie recibe luz en proporción al coseno del ángulo entre su normal exterior y la dirección hacia la lámpara. La superficie de un teseracto son sus 8 celdas, cada una con una normal; una celda orientada hacia la lámpara se ilumina, con mayor intensidad cuanto más directamente la mira, y una celda orientada en sentido contrario queda oscura. El resplandor alrededor de las zonas brillantes es un efecto de visualización; el brillo en sí corresponde a esta luz.

La luz de una lámpara puntual se reparte sobre esferas a su alrededor. En nuestro espacio, el área de una esfera crece como $r^2$, así que la luz disminuye como $1/r^2$; en cuatro dimensiones, la esfera que rodea la lámpara es tridimensional, su tamaño crece como $r^3$ y la luz disminuye como $1/r^3$. Por eso la parte más cercana a la lámpara brilla y la luz se atenúa tan deprisa a lo largo de una celda. Con la lámpara en el infinito no hay atenuación con la distancia.

Lo que ilumina la lámpara es exactamente lo que vería un ojo situado en ella: las celdas orientadas en sentido contrario quedan detrás de las iluminadas. Solo celdas iluminadas conserva únicamente estas últimas (la celda en seguimiento, cuando está detrás, permanece como un trazo tenue). Un cubo muestra como máximo 3 caras a la vez; un teseracto muestra como máximo 4 celdas, a lo sumo una por cada uno de sus propios ejes: la celda del lado de ese eje más allá de la cual se encuentra la lámpara. Con una celda por delante hay 1, el cubo exterior grande; con una cara por delante, 2; con una arista, 3; con un vértice, 4: los cuatro botones del modo Sección. Las sombras de las celdas iluminadas llenan todo el contorno de la sombra sin solaparse, igual que la cara superior de un cubo con una lámpara justo encima proyecta toda su sombra.

La misma lámpara ilumina el desarrollo. Desplegado en $w = 1$, todos los cubos miran hacia ella; al plegarse, cada cubo salvo el central aleja su normal de $w$ y se oscurece; una vez cerrado, solo $w+$ queda iluminado: la imagen de la sombra conservando únicamente las celdas iluminadas.

Posibles confusiones

• El cubo interior no es más pequeño que el exterior; está más lejos de la lámpara.
• Una celda oscura no se ha encogido ni ha desaparecido: está orientada en sentido contrario a la lámpara.
• Las aristas que se cruzan en la imagen no tienen por qué encontrarse en la sombra, y las que se encuentran en la sombra no tienen por qué encontrarse en cuatro dimensiones: hay dos proyecciones entre el teseracto y la pantalla.
• Nada se vuelve del revés ni se dobla: todos los giros aquí son rígidos. Lo que cambia es la distancia de cada parte a la lámpara.
• La cuarta dimensión aquí es una dirección del espacio, no el tiempo; el botón rojo Barrido solo usa el tiempo para recorrer esa dirección.
• Una sección no es una sombra: es la parte del teseracto situada en un hiperplano, a su tamaño real, mientras que la sombra aplana el objeto entero.

Historia

Charles Howard Hinton dio nombre al teseracto en 1888, en un libro sobre cómo se podría aprender a imaginar cuatro dimensiones [1]; Flatland (1884), de Edwin Abbott, ya había recurrido a seres de dos dimensiones que se encuentran con una tercera para establecer la analogía [2]. Las películas por ordenador de Thomas Banchoff y su libro Beyond the Third Dimension mostraron las sombras, secciones y desarrollos del teseracto girando en una pantalla [3].

Conceptos relacionados

Transformación lineal · Proyección ortogonal (página prevista)

Referencias

1. C. H. Hinton, A New Era of Thought, Swan Sonnenschein (1888).
2. E. A. Abbott, Flatland: A Romance of Many Dimensions, Seeley & Co. (1884).
3. T. F. Banchoff, Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, Scientific American Library (1990).

Para saber más: Wikipedia: Tesseract (Inglés).