Tesseratto

Il tesseratto in questa visualizzazione

Il tesseratto è l’insieme dei punti $(x, y, z, w)$ con ogni coordinata compresa tra $-1$ e $1$: un cubo con una direzione in più. Facendo scorrere un punto si ottiene un segmento, facendo scorrere il segmento un quadrato, il quadrato un cubo e il cubo — in una quarta direzione perpendicolare alle altre tre — un tesseratto. Ogni passaggio raddoppia i vertici; il cubo a $n$ dimensioni ha $\binom{n}{k}2^{n-k}$ facce di dimensione $k$, quindi il tesseratto ha 16 vertici, 32 spigoli, 24 quadrati e 8 cubi, le sue celle. Le 8 celle ne formano il bordo, come i 6 quadrati formano la superficie di un cubo.

Che cosa mostra l’immagine

L’immagine grande è un’ombra. Una lampada si trova sull’asse $w$ a distanza $d$ dal centro e ogni punto del tesseratto proietta la propria ombra nel nostro spazio $w = 0$:

Questa è una proiezione centrale, la versione quadridimensionale di una lampada sopra un cubo di filo che proietta la sua ombra sul tavolo — lo schermo in cima al pannello mostra quel cubo. L’ombra è un oggetto tridimensionale; lo schermo lo mostra poi da un lato, con una seconda proiezione. Trascinare l’immagine cambia solo questa seconda proiezione.

Il pannello ruota il tesseratto stesso. In quattro dimensioni una rotazione avviene in un piano: dei sei piani coordinati, i tre che contengono $w$ (XW, YW, ZW) cambiano la forma dell’ombra; le rotazioni in XY, XZ e YZ ruotano soltanto l’ombra, proprio come il trascinamento. XY+ZW ruota in due piani contemporaneamente.

La cella blu è quella che segui. Il suo nome, per esempio w−, è un’etichetta propria dell’oggetto (la cella in cui la sua coordinata $w$ è $-1$), mantenuta comunque ruoti. Il tasto rosso Mezzo giro ruota il tesseratto di 180° nel piano scelto a velocità costante e lascia le traiettorie dei vertici della cella seguita, con un segno ogni 15°, quindi a intervalli di tempo uguali.

Il selettore di modalità offre altri due modi di osservare. Sezione: il nostro spazio $w = t$ taglia il tesseratto nella sua posizione attuale. La sezione è un solido disegnato nelle sue dimensioni reali, all’interno dell’ombra tenue proiettata dalla luce parallela lungo $w$ (la sezione giace nell’iperpiano $w = t$, quindi eliminare $w$ la sposta senza modificarla). È un solido reale nel nostro spazio, quindi viene disegnato come lo vedremmo: vetro illuminato da una luce ordinaria qui. Il tasto rosso Scansione fa variare $t$ a velocità costante e lascia una riga di sezioni a intervalli uguali. L’integrale dei volumi $V(t)$ delle sezioni dà il volume quadridimensionale del tesseratto: $\int V\,dt = 2^4 = 16$.

Sviluppo: otto cubi disposti nel nostro spazio a croce, la forma dipinta da Salvador Dalí in Corpus Hypercubus (1954), si ripiegano attorno ai quadrati condivisi nella quarta dimensione. La croce distesa giace nell’iperpiano $w = 1$, quindi la sua ombra è la croce ingrandita di $d/(d-1)$ volte: fedele nella forma e nelle proporzioni, non nelle dimensioni. A 90° i cubi si chiudono formando il tesseratto e il cubo inferiore della croce diventa il piccolo cubo all’interno dell’ombra.

Perché il cubo interno è piccolo

Nella posizione standard due celle sono disposte frontalmente rispetto alla lampada: $w = 1$, più vicina, e $w = -1$, più lontana. Una cella ad altezza $w$ è ingrandita di $d/(d - w)$ volte, quindi le loro ombre sono cubi di spigolo $2d/(d-1)$ e $2d/(d+1)$: il famoso cubo dentro un cubo. Le altre sei celle si estendono dall’una all’altra e le loro ombre sembrano solidi obliqui; tutte e otto sono cubi uguali.

Una rotazione nel piano XW fa passare ciclicamente quattro celle — da $w-$ a $x+$ a $w+$ a $x-$ — e ruota le altre quattro sul posto, come un cubo ruotato davanti alla lampada porta la faccia inferiore di lato e poi in alto. Ogni vertice si muove su una circonferenza; l’ombra di una circonferenza è un’ellisse — oppure un segmento, quando la luce è parallela o il piano della circonferenza passa per la lampada.

Ruotare in XY e ZW insieme alla stessa velocità muove ogni punto tranne il centro, ciascuno dello stesso angolo (fino a 180°). Mezzo giro porta ogni punto dalla parte opposta rispetto al centro — l’applicazione $-I$. In tre dimensioni $-I$ è una simmetria centrale; lì ogni rotazione mantiene fisso un asse.

La luce della lampada

La lampada illumina anche il tesseratto, come una lampada illumina un cubo. La legge del coseno di Lambert vale in qualsiasi dimensione: una porzione di superficie riceve luce in proporzione al coseno dell’angolo tra la sua normale uscente e la direzione verso la lampada. La superficie di un tesseratto è costituita dalle sue 8 celle, ciascuna con una normale; una cella rivolta verso la lampada è illuminata, tanto più intensamente quanto più le è rivolta frontalmente, mentre una cella rivolta dalla parte opposta è scura. L’alone attorno alle zone luminose è un effetto di visualizzazione; la luminosità stessa deriva da questa luce.

La luce di una lampada puntiforme si distribuisce su sfere attorno a essa. Nel nostro spazio l’area di una sfera cresce come $r^2$, quindi la luce si attenua come $1/r^2$; in quattro dimensioni la sfera attorno alla lampada è tridimensionale, la sua misura cresce come $r^3$ e la luce si attenua come $1/r^3$. Ecco perché la parte più vicina alla lampada brilla e la luce si affievolisce così rapidamente lungo una cella. Con la lampada all’infinito non c’è attenuazione.

Ciò che la lampada illumina è esattamente ciò che vedrebbe un occhio posto al suo posto: le celle rivolte dalla parte opposta si trovano dietro quelle illuminate. Solo celle illuminate mantiene soltanto queste ultime (la cella seguita, quando è dietro, resta come una traccia tenue). Un cubo mostra al massimo 3 facce contemporaneamente; un tesseratto mostra al massimo 4 celle, al massimo una per ciascuno dei propri assi — la cella sul lato di quell’asse oltre la quale si trova la lampada. Con una cella in testa ce n’è 1, il grande cubo esterno; con una faccia in testa 2; con uno spigolo in testa 3; con un vertice in testa 4: i quattro tasti della modalità Sezione. Le ombre delle celle illuminate riempiono l’intera sagoma dell’ombra senza sovrapporsi, come la faccia superiore di un cubo con una lampada direttamente sopra di esso proietta tutta la sua ombra.

Lo sviluppo è illuminato dalla stessa lampada. Quando è disteso in $w = 1$, ogni cubo è rivolto verso di essa; ripiegandosi, ogni cubo tranne quello centrale allontana la propria normale da $w$ e si oscura; una volta chiuso, solo $w+$ è illuminata — l’immagine dell’ombra con solo le celle illuminate.

Facili equivoci

• Il cubo interno non è più piccolo di quello esterno; è più lontano dalla lampada.
• Una cella scura non si è rimpicciolita né è scomparsa: è rivolta dalla parte opposta alla lampada.
• Gli spigoli che si incrociano nell’immagine non necessariamente si incontrano nell’ombra, e quelli che si incontrano nell’ombra non necessariamente si incontrano in quattro dimensioni: tra il tesseratto e lo schermo ci sono due proiezioni.
• Nulla si rivolta o si piega: ogni rotazione qui è rigida. Ciò che cambia è la distanza di ogni parte dalla lampada.
• La quarta dimensione qui è una direzione nello spazio, non il tempo; il tasto rosso Scansione usa il tempo solo per percorrere quella direzione.
• Una sezione non è un’ombra: è la parte del tesseratto che giace in un iperpiano, nelle sue dimensioni reali, mentre l’ombra appiattisce l’intero oggetto.

Storia

Charles Howard Hinton diede il nome al tesseratto nel 1888, in un libro su come si potesse imparare a immaginare quattro dimensioni [1]; Flatland di Edwin Abbott (1884) aveva già usato esseri bidimensionali che incontrano una terza dimensione per costruire l’analogia [2]. I filmati al computer di Thomas Banchoff e il suo libro Beyond the Third Dimension mostrarono ombre, sezioni e sviluppi del tesseratto in rotazione su uno schermo [3].

Concetti correlati

Trasformazione lineare · Proiezione ortogonale (pagina prevista)

Riferimenti

1. C. H. Hinton, A New Era of Thought, Swan Sonnenschein (1888).
2. E. A. Abbott, Flatland: A Romance of Many Dimensions, Seeley & Co. (1884).
3. T. F. Banchoff, Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, Scientific American Library (1990).

Per approfondire: Wikipedia: Tesseract (Inglese).