Hipercubo de quatro dimensões

O hipercubo de quatro dimensões nesta visualização

O hipercubo de quatro dimensões (tesserato) é o conjunto dos pontos $(x, y, z, w)$ com todas as coordenadas entre $-1$ e $1$: um cubo com mais uma direção. Deslocar um ponto gera um segmento, deslocar o segmento gera um quadrado, o quadrado gera um cubo e o cubo — numa quarta direção perpendicular às outras três — gera um tesserato. Cada passo duplica os vértices; o cubo de $n$ dimensões tem $\binom{n}{k}2^{n-k}$ faces de dimensão $k$, pelo que o tesserato tem 16 vértices, 32 arestas, 24 quadrados e 8 cubos, as suas células. As 8 células formam a sua fronteira, tal como os 6 quadrados formam a superfície de um cubo.

O que a imagem mostra

A imagem grande é uma sombra. Uma lâmpada encontra-se no eixo $w$, à distância $d$ do centro, e cada ponto do tesserato projeta a sua sombra no nosso espaço $w = 0$:

Esta é uma projeção central, a versão em quatro dimensões de uma lâmpada por cima de um cubo de arame a projetar a sua sombra na mesa — o ecrã no topo do painel mostra esse cubo. A sombra é um objeto tridimensional; o ecrã mostra-o então de um dos lados, numa segunda projeção. Arrastar a imagem altera apenas essa segunda projeção.

O painel faz rodar o próprio tesserato. Em quatro dimensões, uma rotação faz-se num plano: dos seis planos coordenados, os três que contêm $w$ (XW, YW, ZW) alteram a forma da sombra; as rotações em XY, XZ e YZ apenas rodam a sombra, que é o que acontece ao arrastar. XY+ZW roda em dois planos ao mesmo tempo.

A célula azul é a que acompanhas. O seu nome, como w−, é a designação no próprio objeto (a célula onde a sua própria coordenada $w$ é $-1$), que se mantém independentemente da rotação. O botão vermelho Meia-volta roda o tesserato 180° no plano escolhido a velocidade constante e deixa as trajetórias dos vértices da célula acompanhada, com uma marca a cada 15°, ou seja, a intervalos de tempo iguais.

O seletor de modo oferece mais duas formas de observar. Secção: o nosso espaço $w = t$ corta o tesserato na sua posição atual. O corte é um sólido desenhado à sua dimensão real, dentro da sombra ténue projetada por luz paralela ao longo de $w$ (o corte está no hiperplano $w = t$, pelo que eliminar $w$ o desloca sem o alterar). É um sólido real no nosso espaço, por isso é desenhado tal como o veríamos: vidro iluminado por uma luz comum aqui. O botão vermelho Varrer faz variar $t$ a velocidade constante e deixa uma fila de cortes a intervalos iguais. O integral dos volumes $V(t)$ dos cortes é o volume quadridimensional do tesserato: $\int V\,dt = 2^4 = 16$.

Desenvolvimento: oito cubos dispostos no nosso espaço em forma de cruz, a forma que Salvador Dalí pintou em Corpus Hypercubus (1954), dobram-se em torno dos quadrados que partilham, para a quarta dimensão. A cruz desdobrada está no hiperplano $w = 1$, pelo que a sua sombra é a cruz ampliada $d/(d-1)$ vezes: fiel na forma e nas proporções, mas não no tamanho. A 90°, os cubos fecham-se para formar o tesserato, e o cubo inferior da cruz torna-se o cubo pequeno dentro da sombra.

Porque é pequeno o cubo interior

Na posição padrão, duas células estão orientadas perpendicularmente à direção da lâmpada: $w = 1$, mais próxima, e $w = -1$, mais afastada. Uma célula à altura $w$ é ampliada $d/(d - w)$ vezes, pelo que as suas sombras são cubos de aresta $2d/(d-1)$ e $2d/(d+1)$: o famoso cubo dentro de um cubo. As outras seis células estendem-se de uma à outra e as suas sombras parecem caixas inclinadas; as oito são cubos iguais.

Uma rotação no plano XW faz circular quatro células — de $w-$ para $x+$, para $w+$ e para $x-$ — e roda as outras quatro no mesmo lugar, tal como um cubo rodado diante da lâmpada leva a sua face inferior para o lado e depois para cima. Cada vértice move-se numa circunferência; a sombra de uma circunferência é uma elipse — ou um segmento, quando a luz é paralela ou o plano da circunferência passa pela lâmpada.

Rodar em XY e ZW em simultâneo à mesma velocidade move todos os pontos exceto o centro, cada um pelo mesmo ângulo (até 180°). Meia-volta leva cada ponto para o lado oposto do centro — a aplicação $-I$. Em três dimensões, $-I$ é uma simetria central; aí, todas as rotações mantêm um eixo fixo.

A luz da lâmpada

A lâmpada também ilumina o tesserato, tal como uma lâmpada ilumina um cubo. A lei do cosseno de Lambert é válida em qualquer dimensão: uma porção de superfície recebe luz na proporção do cosseno do ângulo entre a sua normal exterior e a direção da lâmpada. A superfície de um tesserato são as suas 8 células, cada uma com uma normal; uma célula virada para a lâmpada fica iluminada, tanto mais intensamente quanto mais diretamente estiver virada para ela, e uma célula virada para o lado oposto fica escura. O halo em torno das zonas brilhantes é um efeito visual; o brilho em si resulta desta luz.

A luz de uma lâmpada pontual espalha-se por esferas à sua volta. No nosso espaço, a área de uma esfera cresce como $r^2$, pelo que a luz diminui como $1/r^2$; em quatro dimensões, a esfera à volta da lâmpada é tridimensional, a sua medida cresce como $r^3$ e a luz diminui como $1/r^3$. É por isso que a parte mais próxima da lâmpada brilha e a luz se atenua tão depressa ao longo de uma célula. Com a lâmpada no infinito, não há atenuação.

O que a lâmpada ilumina é exatamente o que um olho situado na lâmpada veria: as células viradas para o lado oposto ficam atrás das iluminadas. Só células iluminadas mantém apenas estas (a célula acompanhada, quando está atrás, mantém-se como um traço ténue). Um cubo mostra no máximo 3 faces ao mesmo tempo; um tesserato mostra no máximo 4 células, no máximo uma por cada um dos seus próprios eixos — a célula do lado desse eixo para além da qual se encontra a lâmpada. Com uma célula à frente há 1, o cubo exterior grande; com uma face à frente, 2; com uma aresta à frente, 3; com um vértice à frente, 4: os quatro botões do modo Secção. As sombras das células iluminadas preenchem todo o contorno da sombra sem se sobreporem, tal como a face superior de um cubo com uma lâmpada diretamente por cima projeta a totalidade da sua sombra.

O desenvolvimento é iluminado pela mesma lâmpada. Com o desenvolvimento desdobrado em $w = 1$, cada cubo está virado para ela; ao dobrar, cada cubo exceto o central afasta a sua normal de $w$ e escurece; depois de fechado, só $w+$ fica iluminado — a imagem da sombra mantendo apenas as células iluminadas.

Equívocos comuns

• O cubo interior não é menor do que o exterior; está mais afastado da lâmpada.
• Uma célula escura não encolheu nem desapareceu: está virada para o lado oposto à lâmpada.
• As arestas que se cruzam na imagem não têm necessariamente de se encontrar na sombra, e as arestas que se encontram na sombra não têm necessariamente de se encontrar em quatro dimensões: há duas projeções entre o tesserato e o ecrã.
• Nada se vira do avesso nem se deforma: todas as rotações aqui são rígidas. O que muda é a distância de cada parte à lâmpada.
• A quarta dimensão aqui é uma direção no espaço, não o tempo; o botão vermelho Varrer apenas usa o tempo para percorrer essa direção.
• Uma secção não é uma sombra: é a parte do tesserato contida num hiperplano, à sua dimensão real, enquanto a sombra achata o objeto inteiro.

História

Charles Howard Hinton deu nome ao tesserato em 1888, num livro sobre como se poderia aprender a imaginar quatro dimensões [1]; Flatland (1884), de Edwin Abbott, já tinha usado seres de duas dimensões a descobrir uma terceira para construir a analogia [2]. Os filmes feitos por computador de Thomas Banchoff e o seu livro Beyond the Third Dimension mostraram as sombras, secções e desenvolvimentos do tesserato a rodar num ecrã [3].

Conceitos relacionados

Transformação linear · Projeção ortogonal (página prevista)

Referências

1. C. H. Hinton, A New Era of Thought, Swan Sonnenschein (1888).
2. E. A. Abbott, Flatland: A Romance of Many Dimensions, Seeley & Co. (1884).
3. T. F. Banchoff, Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, Scientific American Library (1990).

Para saber mais: Wikipédia: Tesseract (Inglês).