正八胞体：操作して探究

この可視化で扱う正八胞体

正八胞体（テッセラクト）は、すべての座標が $-1$ から $1$ の間にある点 $(x, y, z, w)$ の集合です。立方体に方向をもう1つ加えたものです。点を滑らせると線分に、線分を滑らせると正方形に、正方形を滑らせると立方体になります。そして立方体を、ほかの3方向すべてに垂直な第4の方向に滑らせると、テッセラクトになります。各段階で頂点は2倍になります。 $n$ 次元立方体には $k$ 次元の面が $\binom{n}{k}2^{n-k}$ 個あるので、テッセラクトには16の頂点、32の辺、24の正方形と、胞と呼ぶ8つの立方体があります。6つの正方形が立方体の表面を作るように、8つの胞がテッセラクトの境界を作ります。

図に映っているもの

大きな図は影です。ランプは $w$ 軸上の中心から距離 $d$ の位置にあり、テッセラクトの各点が私たちの空間 $w = 0$ に影を落とします。

(x,\,y,\,z,\,w)\ \longmapsto\ \frac{d}{d-w}\,(x,\,y,\,z)

これは中心投影です。針金で作った立方体の上にあるランプがテーブルに影を落とす仕組みを、4次元にしたものです。パネル上部の画面にはその立方体を示しています。影は3次元の物体で、画面ではさらにそれを一方向から見せています。これが2回目の投影です。図をドラッグして変わるのは、この2回目の投影だけです。

パネルではテッセラクト自体を回転させます。4次元の回転は平面内で起こります。6つの座標平面のうち、 $w$ を含む3つ（XW、YW、ZW）での回転は影の形を変えます。XY、XZ、YZでの回転は影を回すだけで、ドラッグの操作に相当します。XY+ZWでは2つの平面で同時に回転します。

青い胞が追跡対象です。w−などの名前は物体自身のラベル（物体自身の $w$ が $-1$ である胞）で、どのように回転しても変わりません。赤いボタン半回転は、選んだ平面でテッセラクトを一定の速さで180°回転させ、追跡中の胞の頂点の軌跡を残します。15°ごと、つまり等時間間隔で目盛りが付きます。

モードダイヤルには、さらに2つの見方があります。断面：私たちの空間 $w = t$ が、現在の姿勢のテッセラクトを切ります。切り口は実際の大きさの立体として、 $w$ 方向の平行光が作る薄い影の中に描かれます（切り口は超平面 $w = t$ 内にあるので、 $w$ 座標を取り除いても形や大きさは変わらず、位置だけが移ります）。これは私たちの空間にある実際の立体なので、ここで普通の光に照らされたガラスという、私たちに見える姿で描いています。赤いボタンスイープは $t$ を一定の速さで動かし、等間隔の切り口を列として残します。切り口の体積 $V(t)$ を積分すると、テッセラクトの4次元体積になります： $\int V\,dt = 2^4 = 16$ 。

展開図：私たちの空間に十字形に並べた8つの立方体が、共有する正方形を支えに第4の次元へ折れ曲がります。サルバドール・ダリがCorpus Hypercubus（1954年）に描いた形です。開いた十字形は超平面 $w = 1$ 内にあるので、その影は十字形を $d/(d-1)$ 倍に拡大したものです。形と比率はそのままですが、大きさは異なります。90°で立方体が閉じてテッセラクトになり、十字形の一番下の立方体が影の内側の小さな立方体になります。

内側の立方体が小さい理由

標準の姿勢では、近い側の $w = 1$ と遠い側の $w = -1$ という2つの胞が、ランプに対して傾かずに位置しています。高さ $w$ にある胞は $d/(d - w)$ 倍に拡大されるので、その影は辺の長さが $2d/(d-1)$ と $2d/(d+1)$ の立方体になります。これが有名な「立方体の中の立方体」です。残りの6つの胞は両者をつなぎ、その影は斜めの箱のように見えますが、8つとも同じ大きさの立方体です。

XW平面で回転すると、4つの胞が $w-$ から $x+$ 、 $w+$ 、 $x-$ へと巡り、残りの4つはその場で回転します。ランプの前で立方体を回すと、底面が側面へ、そして上面へと回るのと同じです。各頂点は円上を動きます。円の影は楕円になりますが、光が平行な場合や円の平面がランプを通る場合には線分になります。

XYとZWで同時に同じ速さで回転すると、中心以外のすべての点が、それぞれ同じ角度だけ動きます（180°まで）。半回転すると、すべての点が中心の反対側へ移ります。これが写像 $-I$ です。3次元では $-I$ は中心に関する点対称変換であり、どの回転にも固定された軸があります。

ランプの光

ランプは立方体を照らすのと同じように、テッセラクトも照らします。ランベルトの余弦則はどの次元でも成り立ちます。表面の小さな部分が受け取る光は、その外向き法線とランプへの方向がなす角の余弦に比例します。テッセラクトの表面は8つの胞で、それぞれに法線があります。ランプを向いた胞は照らされ、より正面を向くほど明るくなり、反対を向いた胞は暗くなります。明るい場所の周囲の光彩は表示上の効果ですが、明るさそのものはこの光によるものです。

点状のランプの光は、周囲の球面に広がります。私たちの空間では球面の面積が $r^2$ に比例して増えるので、光は $1/r^2$ に比例して弱まります。4次元ではランプを囲む球面は3次元で、その大きさは $r^3$ に比例して増え、光は $1/r^3$ に比例して弱まります。このためランプに最も近い部分が輝き、胞の中でもそこから離れるにつれて光が急速に弱まります。ランプが無限遠にあれば減衰はありません。

ランプが照らす部分は、ランプの位置に目を置いたときに見える部分とまったく同じです。反対を向いた胞は、照らされた胞の背後にあります。照らされた胞だけでは、それらだけを残します（追跡中の胞は、背後にあっても薄く残ります）。立方体では一度に最大3つの面が見えます。テッセラクトでは最大4つの胞が見え、物体自身の各軸につき最大1つ、その軸の方向で胞の先にランプがある側の胞が見えます。胞が先頭なら1つで、外側の大きな立方体です。面が先頭なら2つ、辺なら3つ、頂点なら4つで、断面モードの4つのボタンに対応します。照らされた胞の影は重なり合わず、影の輪郭の内側全体を埋めます。真上にランプがある立方体では、上面が影の全体を作るのと同じです。

展開図も同じランプに照らされます。 $w = 1$ 内に開いた状態では、どの立方体もランプを向いています。折りたたむと、中央以外の各立方体は法線が $w$ 方向から離れるように回転し、暗くなります。閉じると $w+$ だけが照らされます。これは、照らされた胞だけを残した影の図です。

誤解しやすいこと

内側の立方体は外側より小さいのではなく、ランプから遠いのです。
暗い胞は縮んだり消えたりしたのではなく、ランプと反対を向いています。
図で交差する辺が影の中でも交わるとは限らず、影の中で交わる辺が4次元でも交わるとは限りません。テッセラクトから画面までには2回の投影があるからです。
何かが裏返ったり曲がったりしているわけではありません。ここでの回転はすべて形を保ちます。変わるのは、各部分からランプまでの距離です。
ここでの第4の次元は空間の方向であり、時間ではありません。赤いボタン「スイープ」は、時間を使ってその方向に沿って切断位置を動かすだけです。
断面は影ではありません。断面は1つの超平面内にあるテッセラクトの部分を実際の大きさで示したものです。一方、影は物体全体を低い次元に押しつぶして映します。

歴史

チャールズ・ハワード・ヒントンは1888年、4次元を思い描く方法を学ぶための著書で、テッセラクトという名を付けました[1]。それに先立ち、エドウィン・アボットのFlatland（1884年）は、2次元の存在が第3の次元に出会う物語によって、この類推を示していました[2]。トーマス・バンチョフのコンピューター映像と著書Beyond the Third Dimensionは、テッセラクトの影、断面、展開した姿が画面上で回転する様子を示しました[3]。

参考文献

C. H. Hinton, A New Era of Thought, Swan Sonnenschein (1888).
E. A. Abbott, Flatland: A Romance of Many Dimensions, Seeley & Co. (1884).
T. F. Banchoff, Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, Scientific American Library (1990).

さらに読む: ウィキペディア: Tesseract (英語).