테서랙트

이 시각화 속 테서랙트

테서랙트는 모든 좌표가 $-1$과 $1$ 사이에 있는 점 $(x, y, z, w)$의 집합입니다. 정육면체에 방향이 하나 더 있는 셈입니다. 점을 밀어 움직이면 선분이, 선분을 밀면 정사각형이, 정사각형을 밀면 정육면체가 됩니다. 정육면체를 나머지 세 방향 모두에 수직인 네 번째 방향으로 밀면 테서랙트가 됩니다. 단계마다 꼭짓점 수는 두 배가 됩니다. $n$차원 정육면체에는 $k$차원 면이 $\binom{n}{k}2^{n-k}$개 있으므로 테서랙트에는 꼭짓점 16개, 모서리 32개, 정사각형 24개, 그리고 셀이라 부르는 정육면체 8개가 있습니다. 정사각형 6개가 정육면체의 표면을 이루듯이 셀 8개가 테서랙트의 경계를 이룹니다.

그림이 보여 주는 것

큰 그림은 그림자입니다. 램프는 $w$축 위에서 중심으로부터 거리 $d$에 있고, 테서랙트의 모든 점은 우리 공간 $w = 0$에 그림자를 드리웁니다:

이것은 중심 투영입니다. 철사 정육면체 위의 램프가 탁자에 그림자를 드리우는 현상을 4차원으로 옮긴 것으로, 패널 위쪽 화면에서 그 정육면체를 볼 수 있습니다. 그림자는 3차원 물체이고, 화면은 그것을 한쪽에서 바라본 모습, 즉 두 번째 투영을 보여 줍니다. 그림을 드래그하면 두 번째 투영만 바뀝니다.

패널은 테서랙트 자체를 회전시킵니다. 4차원에서는 평면 안에서 회전합니다. 여섯 좌표 평면 중 $w$를 포함하는 세 평면(XW, YW, ZW)에서의 회전은 그림자의 모양을 바꿉니다. XY, XZ, YZ에서의 회전은 그림자를 돌리기만 하며, 이는 드래그로 할 수 있습니다. XY+ZW는 두 평면에서 동시에 회전합니다.

파란 셀은 추적 중인 셀입니다. w− 같은 이름은 물체 자체의 표지(자체 좌표 $w$가 $-1$인 셀)이며, 어떻게 회전해도 유지됩니다. 빨간 반 바퀴 버튼은 테서랙트를 선택한 평면에서 일정한 속도로 180° 회전시키며 추적 중인 셀의 꼭짓점 경로를 남깁니다. 15°마다 눈금을 찍으므로 시간 간격도 일정합니다.

모드 다이얼에는 두 가지 보기 방식이 더 있습니다. 단면: 우리 공간 $w = t$가 현재 자세의 테서랙트를 자릅니다. 단면은 실제 크기의 입체로 그려지며, $w$ 방향의 평행광이 만드는 희미한 그림자 안에 놓입니다(단면은 초평면 $w = t$에 있으므로 $w$ 좌표를 없애도 모양은 그대로인 채 위치만 옮겨집니다). 우리 공간의 실제 입체이므로 우리가 보게 될 모습, 즉 이 공간의 보통 빛을 받는 유리로 그립니다. 빨간 훑기 버튼은 $t$를 일정한 속도로 이동시키며 같은 간격의 단면을 한 줄로 남깁니다. 단면의 부피 $V(t)$를 적분하면 테서랙트의 4차원 부피가 됩니다: $\int V\,dt = 2^4 = 16$.

전개도: 우리 공간에 십자 모양으로 펼쳐진 여덟 정육면체가 공유하는 정사각형을 중심으로 네 번째 차원 쪽으로 접힙니다. 살바도르 달리가 Corpus Hypercubus(1954)에 그린 모양입니다. 펼쳐진 십자 모양은 초평면 $w = 1$에 있으므로 그림자는 십자 모양을 $d/(d-1)$배 확대한 것입니다. 모양과 비율은 실제와 같지만 크기는 다릅니다. 90°에서 정육면체들이 닫혀 테서랙트가 되고, 십자 모양의 맨 아래 정육면체는 그림자 안의 작은 정육면체가 됩니다.

안쪽 정육면체가 작은 이유

기본 자세에서는 두 셀이 램프가 있는 방향에 수직으로 놓입니다. 가까운 셀은 $w = 1$, 먼 셀은 $w = -1$입니다. 높이 $w$에 있는 셀은 $d/(d - w)$배로 확대되므로 두 그림자는 각각 모서리 길이가 $2d/(d-1)$와 $2d/(d+1)$인 정육면체가 됩니다. 이것이 유명한 ‘정육면체 안의 정육면체’입니다. 나머지 여섯 셀은 두 셀 사이를 잇고, 그 그림자는 비스듬한 상자처럼 보입니다. 여덟 셀 모두 크기가 같은 정육면체입니다.

XW 평면에서 회전하면 네 셀이 $w-$에서 $x+$, $w+$, $x-$의 순서로 순환하고 나머지 네 셀은 제자리에서 회전합니다. 램프 앞에서 정육면체를 돌리면 밑면이 옆으로 갔다가 위로 오는 것과 같습니다. 각 꼭짓점은 원을 따라 움직입니다. 원의 그림자는 타원입니다. 다만 빛이 평행하거나 원이 놓인 평면이 램프를 지나면 선분이 됩니다.

XY와 ZW에서 동시에 같은 속도로 회전하면 중심을 제외한 모든 점이 각각 같은 각도만큼 움직입니다(180°까지). 반 바퀴 회전하면 모든 점이 중심의 반대편으로 옮겨집니다. 이것이 사상 $-I$입니다. 3차원에서 $-I$는 중심에 대한 점대칭 변환이며, 3차원의 모든 회전은 하나의 축을 고정합니다.

램프의 빛

램프가 정육면체를 비추듯이, 여기의 램프도 테서랙트를 비춥니다. 람베르트의 코사인 법칙은 모든 차원에서 성립합니다. 표면의 작은 부분이 받는 빛은 바깥쪽 법선과 램프를 향하는 방향 사이 각도의 코사인에 비례합니다. 테서랙트의 표면은 각각 법선을 가진 셀 8개입니다. 램프를 향한 셀은 빛을 받고, 더 정면으로 향할수록 더 밝아지며, 반대쪽을 향한 셀은 어둡습니다. 밝은 곳 주위의 광채는 화면 표현 효과이지만, 밝기 자체는 이 빛에 따른 것입니다.

점 광원의 빛은 주변의 구면으로 퍼집니다. 우리 공간에서는 구면의 넓이가 $r^2$에 비례해 커지므로 빛은 $1/r^2$에 비례해 약해집니다. 4차원에서는 램프를 둘러싼 구면이 3차원이고, 그 크기는 $r^3$에 비례해 커지며 빛은 $1/r^3$에 비례해 약해집니다. 그래서 램프에 가장 가까운 부분이 밝게 빛나고, 셀을 가로질러 빛이 매우 빠르게 약해집니다. 램프가 무한히 멀리 있으면 거리에 따른 감소는 없습니다.

램프가 비추는 부분은 램프 위치에 눈을 두었을 때 보이는 부분과 정확히 같습니다. 반대쪽을 향한 셀은 빛을 받는 셀 뒤에 있습니다. 빛을 받는 셀만은 그 셀들만 남깁니다(추적 중인 셀은 뒤에 있어도 희미한 흔적으로 남습니다). 정육면체는 한 번에 최대 면 3개를 보여 줍니다. 테서랙트는 최대 셀 4개를 보여 주며, 자체 좌표축마다 최대 하나씩입니다. 각 축에서 셀 너머에 램프가 있는 쪽의 셀입니다. 셀부터 바라보면 1개, 즉 바깥쪽의 큰 정육면체가 보입니다. 면부터는 2개, 모서리부터는 3개, 꼭짓점부터는 4개이며, 이는 단면 모드의 네 버튼에 해당합니다. 빛을 받는 셀들의 그림자는 겹치지 않고 그림자의 윤곽 안을 가득 채웁니다. 바로 위에 램프가 있는 정육면체의 윗면이 전체 그림자를 만드는 것과 같습니다.

전개도도 같은 램프의 빛을 받습니다. $w = 1$에 펼쳐져 있을 때는 모든 정육면체가 램프를 향합니다. 접히면서 중앙을 제외한 각 정육면체의 법선이 $w$ 방향에서 멀어지며 어두워집니다. 닫히면 $w+$만 빛을 받습니다. 빛을 받는 셀만 남긴 그림자 모습과 같습니다.

오해하기 쉬운 점

• 안쪽 정육면체는 바깥쪽보다 작지 않습니다. 램프에서 더 멀리 있을 뿐입니다.
• 어두운 셀은 줄어들거나 사라진 것이 아닙니다. 램프 반대쪽을 향하고 있습니다.
• 그림에서 교차하는 모서리가 그림자에서도 반드시 만나는 것은 아니며, 그림자에서 만나는 모서리가 4차원에서도 반드시 만나는 것은 아닙니다. 테서랙트와 화면 사이에는 두 번의 투영이 있습니다.
• 어떤 부분도 안팎이 뒤집히거나 휘지 않습니다. 여기의 모든 회전은 형태를 유지하는 강체 회전입니다. 바뀌는 것은 각 부분과 램프 사이의 거리입니다.
• 여기서 네 번째 차원은 시간이 아니라 공간의 한 방향입니다. 빨간 ‘훑기’ 버튼은 시간을 이용해 그 방향을 따라 이동시킬 뿐입니다.
• 단면은 그림자가 아닙니다. 단면은 하나의 초평면에 놓인 테서랙트의 부분을 실제 크기로 나타내지만, 그림자는 물체 전체를 낮은 차원으로 눌러 투영합니다.

역사

찰스 하워드 힌턴은 1888년, 4차원을 상상하는 법을 어떻게 배울 수 있을지 다룬 책에서 테서랙트라는 이름을 붙였습니다[1]. 그보다 앞서 에드윈 애벗의 플랫랜드(1884)는 2차원 존재들이 세 번째 차원을 만나는 이야기로 이와 같은 유추를 보여 주었습니다[2]. 토머스 밴초프의 컴퓨터 영상과 저서 Beyond the Third Dimension은 테서랙트의 그림자, 단면, 펼친 모습이 화면에서 회전하는 모습을 보여 주었습니다[3].

관련 개념

선형 변환 · 정사영 (페이지 예정)

참고 문헌

1. C. H. Hinton, A New Era of Thought, Swan Sonnenschein (1888).
2. E. A. Abbott, Flatland: A Romance of Many Dimensions, Seeley & Co. (1884).
3. T. F. Banchoff, Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, Scientific American Library (1990).

더 읽어 보기: Wikipedia: Tesseract (영어).