Tesseract

Le tesseract dans cette visualisation

Le tesseract est l’ensemble des points $(x, y, z, w)$ dont chaque coordonnée est comprise entre $-1$ et $1$ : un cube avec une direction de plus. Faire glisser un point donne un segment, faire glisser ce segment donne un carré, ce carré un cube, et ce cube — dans une quatrième direction perpendiculaire aux trois autres — un tesseract. Chaque étape double le nombre de sommets ; le cube à $n$ dimensions possède $\binom{n}{k}2^{n-k}$ faces de dimension $k$, donc le tesseract possède 16 sommets, 32 arêtes, 24 carrés et 8 cubes, ses cellules. Les 8 cellules forment sa frontière, comme les 6 carrés forment la surface d’un cube.

Ce que montre l’image

La grande image est une ombre. Une lampe se trouve sur l’axe $w$, à une distance $d$ du centre, et chaque point du tesseract projette son ombre dans notre espace $w = 0$ :

C’est une projection centrale, la version à quatre dimensions d’une lampe au-dessus d’un cube en fil de fer projetant son ombre sur la table — l’écran en haut du panneau montre ce cube. L’ombre est un objet à trois dimensions ; l’écran la montre ensuite d’un certain côté, par une seconde projection. Faire glisser l’image ne modifie que cette seconde projection.

Le panneau fait tourner le tesseract lui-même. En quatre dimensions, une rotation s’effectue dans un plan : parmi les six plans de coordonnées, les trois qui contiennent $w$ (XW, YW, ZW) changent la forme de l’ombre ; les rotations dans XY, XZ et YZ ne font que tourner l’ombre, ce que fait le glissement de l’image. XY+ZW effectue une rotation dans deux plans à la fois.

La cellule bleue est celle que vous suivez. Son nom, par exemple w−, est une étiquette propre à l’objet (la cellule où sa propre coordonnée $w$ vaut $-1$), conservée quelle que soit sa rotation. Le bouton rouge Demi-tour fait tourner le tesseract de 180° dans le plan choisi à vitesse constante et laisse les trajectoires des sommets de la cellule suivie, avec un repère tous les 15°, donc à intervalles de temps égaux.

Le sélecteur de mode propose deux autres façons de regarder. Section : notre espace $w = t$ coupe le tesseract dans son orientation actuelle. La section est un solide représenté à sa taille réelle, à l’intérieur de l’ombre pâle projetée par une lumière parallèle selon $w$ (la section est dans l’hyperplan $w = t$, donc supprimer la coordonnée $w$ la déplace sans la modifier). C’est un véritable solide dans notre espace ; il est donc représenté tel que nous le verrions : en verre, éclairé ici par une lumière ordinaire. Le bouton rouge Balayage fait varier $t$ à vitesse constante et laisse une rangée de sections prises à intervalles réguliers. L’intégrale des volumes $V(t)$ des sections donne le volume à quatre dimensions du tesseract : $\int V\,dt = 2^4 = 16$.

Patron : huit cubes disposés en croix dans notre espace, la forme peinte par Salvador Dalí dans Corpus Hypercubus (1954), se replient autour de leurs carrés communs dans la quatrième dimension. La croix à plat se trouve dans l’hyperplan $w = 1$, donc son ombre est la croix agrandie d’un facteur $d/(d-1)$ : fidèle à sa forme et à ses proportions, mais pas à sa taille. À 90°, les cubes se referment en tesseract, et le cube du bas de la croix devient le petit cube à l’intérieur de l’ombre.

Pourquoi le cube intérieur est petit

Dans l’orientation standard, deux cellules se présentent à plat par rapport à la lampe : $w = 1$, la plus proche, et $w = -1$, la plus éloignée. Une cellule à la hauteur $w$ est agrandie d’un facteur $d/(d - w)$, donc leurs ombres sont des cubes d’arêtes $2d/(d-1)$ et $2d/(d+1)$ : le célèbre cube dans un cube. Les six autres cellules relient ces deux cellules et leurs ombres ressemblent à des volumes obliques ; toutes les huit sont des cubes égaux.

Une rotation dans le plan XW fait permuter quatre cellules selon un cycle — de $w-$ à $x+$, puis à $w+$, puis à $x-$ — et fait tourner les quatre autres sur place, comme un cube tournant devant la lampe amène sa face du bas sur le côté, puis en haut. Chaque sommet se déplace sur un cercle ; l’ombre d’un cercle est une ellipse — ou un segment lorsque la lumière est parallèle ou que le plan du cercle passe par la lampe.

Tourner simultanément dans XY et ZW à la même vitesse déplace chaque point sauf le centre, chacun du même angle (jusqu’à 180°). Un demi-tour amène chaque point de l’autre côté du centre — c’est l’application $-I$. En trois dimensions, $-I$ est une symétrie centrale ; toute rotation y conserve un axe fixe.

La lumière de la lampe

La lampe éclaire aussi le tesseract, comme une lampe éclaire un cube. La loi du cosinus de Lambert est valable en toute dimension : un morceau de surface reçoit de la lumière proportionnellement au cosinus de l’angle entre sa normale extérieure et la direction de la lampe. La surface d’un tesseract est constituée de ses 8 cellules, chacune ayant une normale ; une cellule tournée vers la lampe est éclairée, d’autant plus vivement qu’elle lui fait directement face, et une cellule tournée à l’opposé est sombre. Le halo autour des zones lumineuses est un effet d’affichage ; la luminosité elle-même provient de cet éclairage.

La lumière d’une lampe ponctuelle se répartit sur des sphères autour d’elle. Dans notre espace, l’aire d’une sphère croît comme $r^2$, donc la lumière décroît comme $1/r^2$ ; en quatre dimensions, la sphère autour de la lampe est tridimensionnelle, sa taille croît comme $r^3$ et la lumière décroît comme $1/r^3$. C’est pourquoi la partie la plus proche de la lampe brille et la lumière s’atténue si vite d’un bout à l’autre d’une cellule. Avec la lampe à l’infini, il n’y a pas d’atténuation.

Ce que la lampe éclaire est exactement ce que verrait un œil placé à son emplacement : les cellules tournées à l’opposé se trouvent derrière les cellules éclairées. Cellules éclairées seules ne conserve que ces dernières (la cellule suivie, lorsqu’elle est derrière, reste visible sous forme de trace pâle). Un cube montre au plus 3 faces à la fois ; un tesseract montre au plus 4 cellules, au plus une pour chacun de ses propres axes — la cellule du côté de cet axe au-delà de laquelle se trouve la lampe. Une cellule en premier, il y en a 1, le grand cube extérieur ; une face en premier, 2 ; une arête en premier, 3 ; un sommet en premier, 4 : ce sont les quatre boutons du mode Section. Les ombres des cellules éclairées remplissent tout le contour de l’ombre sans se chevaucher, comme la face supérieure d’un cube éclairé par une lampe à la verticale au-dessus de lui projette la totalité de son ombre.

Le patron est éclairé par la même lampe. À plat dans $w = 1$, chaque cube lui fait face ; pendant le pliage, chaque cube sauf celui du centre détourne sa normale de $w$ et s’assombrit ; une fois le patron refermé, seule $w+$ est éclairée — c’est l’image de l’ombre avec seulement les cellules éclairées.

Les pièges de l’image

• Le cube intérieur n’est pas plus petit que le cube extérieur ; il est plus éloigné de la lampe.
• Une cellule sombre n’a ni rétréci ni disparu : elle est tournée à l’opposé de la lampe.
• Des arêtes qui se croisent dans l’image ne se rencontrent pas nécessairement dans l’ombre, et des arêtes qui se rencontrent dans l’ombre ne se rencontrent pas nécessairement en quatre dimensions : il y a deux projections entre le tesseract et l’écran.
• Rien ne se retourne comme un gant ni ne se déforme : chaque rotation ici est rigide. Ce qui change, c’est la distance de chaque partie à la lampe.
• La quatrième dimension est ici une direction de l’espace, pas le temps ; le bouton rouge Balayage n’utilise le temps que pour parcourir cette direction.
• Une section n’est pas une ombre : c’est la partie du tesseract située dans un hyperplan, à sa taille réelle, tandis que l’ombre aplatit l’objet entier.

Histoire

Charles Howard Hinton a donné son nom au tesseract en 1888, dans un livre sur la manière dont on pourrait apprendre à imaginer quatre dimensions [1] ; Flatland d’Edwin Abbott (1884) avait déjà utilisé des êtres à deux dimensions rencontrant une troisième dimension pour établir l’analogie [2]. Les films de Thomas Banchoff réalisés par ordinateur et son livre Beyond the Third Dimension ont montré les ombres, les sections et les dépliages du tesseract tournant sur un écran [3].

Notions liées

Transformation linéaire · Projection orthogonale (page prévue)

Références

1. C. H. Hinton, A New Era of Thought, Swan Sonnenschein (1888).
2. E. A. Abbott, Flatland: A Romance of Many Dimensions, Seeley & Co. (1884).
3. T. F. Banchoff, Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, Scientific American Library (1990).

Pour aller plus loin: Wikipédia: Tesseract (Anglais).