Tesserakt

Der Tesserakt in dieser Visualisierung

Der Tesserakt ist die Menge der Punkte $(x, y, z, w)$, deren Koordinaten jeweils zwischen $-1$ und $1$ liegen: ein Würfel mit einer zusätzlichen Richtung. Verschiebt man einen Punkt, entsteht eine Strecke; aus der verschobenen Strecke wird ein Quadrat, aus dem Quadrat ein Würfel und aus dem Würfel — in einer vierten Richtung senkrecht zu den anderen drei — ein Tesserakt. Bei jedem Schritt verdoppelt sich die Zahl der Ecken; der $n$-dimensionale Würfel hat $\binom{n}{k}2^{n-k}$ Seiten der Dimension $k$, also hat der Tesserakt 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Quadrate und 8 Würfel, seine Zellen. Die 8 Zellen bilden seinen Rand, so wie die 6 Quadrate die Oberfläche eines Würfels bilden.

Was das Bild zeigt

Das große Bild ist ein Schatten. Eine Lampe sitzt auf der $w$-Achse im Abstand $d$ vom Mittelpunkt, und jeder Punkt des Tesserakts wirft seinen Schatten in unseren Raum $w = 0$:

Dies ist eine Zentralprojektion: die vierdimensionale Entsprechung einer Lampe über einem Drahtwürfel, der seinen Schatten auf den Tisch wirft — die kleine Ansicht oben im Bedienfeld zeigt diesen Würfel. Der Schatten ist ein dreidimensionales Objekt; der Bildschirm zeigt ihn dann von einer Seite, eine zweite Projektion. Ziehen am Bild verändert nur diese zweite Projektion.

Das Bedienfeld dreht den Tesserakt selbst. In vier Dimensionen erfolgt eine Drehung in einer Ebene: Von den sechs Koordinatenebenen verändern die drei, die $w$ enthalten (XW, YW, ZW), die Form des Schattens; Drehungen in XY, XZ und YZ drehen nur den Schatten, genau wie das Ziehen am Bild. XY+ZW dreht in zwei Ebenen gleichzeitig.

Die blaue Zelle ist diejenige, die du verfolgst. Ihr Name, etwa w−, ist die objekteigene Bezeichnung (die Zelle, in der ihr eigenes $w$ gleich $-1$ ist) und bleibt bei jeder Drehung erhalten. Die rote Taste Halbe Drehung dreht den Tesserakt gleichmäßig um 180° in der gewählten Ebene und hinterlässt die Bahnen der Ecken der verfolgten Zelle, mit einer Markierung alle 15°, also in gleichen Zeitabständen.

Der Modusregler bietet zwei weitere Betrachtungsweisen. Schnitt: Unser Raum $w = t$ schneidet den Tesserakt in seiner aktuellen Lage. Der Schnitt wird als Körper in seiner wahren Größe dargestellt, innerhalb des blassen Schattens, den paralleles Licht entlang $w$ wirft (der Schnitt liegt in der Hyperebene $w = t$, daher verschiebt das Weglassen von $w$ ihn, ohne ihn zu verändern). Er ist ein wirklicher Körper in unserem Raum und wird deshalb so dargestellt, wie wir einen solchen sehen würden: als Glas, von gewöhnlichem Licht hier beleuchtet. Die rote Taste Durchlauf verändert $t$ gleichmäßig über den gesamten Bereich und hinterlässt eine Reihe von Schnitten in gleichen Abständen. Das Integral der Schnittvolumina $V(t)$ ergibt das vierdimensionale Volumen des Tesserakts: $\int V\,dt = 2^4 = 16$.

Netz: Acht Würfel, in unserem Raum als Kreuz angeordnet — die Form, die Salvador Dalí in Corpus Hypercubus (1954) malte —, falten sich um ihre gemeinsamen Quadrate in die vierte Dimension. Das flache Kreuz liegt in der Hyperebene $w = 1$, daher ist sein Schatten das um den Faktor $d/(d-1)$ vergrößerte Kreuz: form- und proportionstreu, aber nicht in wahrer Größe. Bei 90° schließen sich die Würfel zum Tesserakt, und der unterste Würfel des Kreuzes wird zum kleinen Würfel im Inneren des Schattens.

Warum der innere Würfel klein ist

In der Standardlage liegen zwei Zellen quer zur Richtung der Lampe: $w = 1$, näher, und $w = -1$, weiter entfernt. Eine Zelle auf der Höhe $w$ wird um den Faktor $d/(d - w)$ vergrößert, daher sind ihre Schatten Würfel mit den Kantenlängen $2d/(d-1)$ und $2d/(d+1)$: der berühmte Würfel im Würfel. Die anderen sechs Zellen reichen vom einen zum anderen, und ihre Schatten sehen wie schräge Kästen aus; alle acht sind gleich große Würfel.

Eine Drehung in der XW-Ebene führt vier Zellen im Kreis — $w-$ zu $x+$ zu $w+$ zu $x-$ — und dreht die anderen vier auf der Stelle, so wie ein vor der Lampe gedrehter Würfel seine untere Fläche zur Seite und dann nach oben bringt. Jede Ecke bewegt sich auf einem Kreis; der Schatten eines Kreises ist eine Ellipse — oder eine Strecke, wenn das Licht parallel ist oder die Kreisebene durch die Lampe verläuft.

Eine gleichzeitige, gleich schnelle Drehung in XY und ZW bewegt jeden Punkt außer dem Mittelpunkt, jeweils um denselben Winkel (bis zu 180°). Eine halbe Drehung bringt jeden Punkt auf die gegenüberliegende Seite des Mittelpunkts — die Abbildung $-I$. In drei Dimensionen ist $-I$ eine Punktspiegelung am Mittelpunkt; jede Drehung hält dort eine Achse fest.

Das Licht der Lampe

Die Lampe beleuchtet den Tesserakt auch, so wie eine Lampe einen Würfel beleuchtet. Das lambertsche Kosinusgesetz gilt in jeder Dimension: Ein Oberflächenstück nimmt Licht proportional zum Kosinus des Winkels zwischen seiner nach außen gerichteten Normalen und der Richtung zur Lampe auf. Die Oberfläche eines Tesserakts besteht aus seinen 8 Zellen, jede mit einer Normalen; eine der Lampe zugewandte Zelle wird beleuchtet, umso heller, je direkter sie ihr zugewandt ist, und eine abgewandte Zelle ist dunkel. Der Leuchtschein um helle Stellen ist ein Darstellungseffekt; die Helligkeit selbst stammt von diesem Licht.

Das Licht einer punktförmigen Lampe verteilt sich auf Sphären um sie herum. In unserem Raum wächst die Fläche einer Sphäre wie $r^2$, daher nimmt das Licht wie $1/r^2$ ab; in vier Dimensionen ist die Sphäre um die Lampe dreidimensional, ihre Größe wächst wie $r^3$, und das Licht nimmt wie $1/r^3$ ab. Deshalb leuchtet der Teil, der der Lampe am nächsten liegt, hell, und das Licht wird über eine Zelle hinweg so schnell schwächer. Mit der Lampe im Unendlichen gibt es keine Abschwächung durch Entfernung.

Was die Lampe beleuchtet, ist genau das, was ein Auge am Ort der Lampe sehen würde: Die abgewandten Zellen liegen hinter den beleuchteten. Nur beleuchtete Zellen lässt nur diese sichtbar (die verfolgte Zelle bleibt als blasse Spur erhalten, wenn sie dahinterliegt). Ein Würfel zeigt höchstens 3 Flächen gleichzeitig; ein Tesserakt zeigt höchstens 4 Zellen, höchstens eine für jede seiner eigenen Achsen — die Zelle auf der Seite dieser Achse, auf der die Lampe jenseits der Zelle liegt. Mit einer Zelle voran ist es 1, der große äußere Würfel; mit einer Fläche voran 2; mit einer Kante voran 3; mit einer Ecke voran 4: die vier Tasten des Schnittmodus. Die Schatten der beleuchteten Zellen füllen den gesamten Umriss des Schattens ohne Überlappung aus, so wie die Oberseite eines Würfels mit einer Lampe direkt darüber seinen ganzen Schatten wirft.

Das Netz wird von derselben Lampe beleuchtet. Flach in $w = 1$ liegend ist jeder Würfel ihr zugewandt; beim Falten dreht jeder Würfel außer dem mittleren seine Normale von $w$ weg und wird dunkler; geschlossen ist nur $w+$ beleuchtet — das Bild des Schattens, bei dem nur die beleuchteten Zellen sichtbar bleiben.

Leicht misszuverstehen

• Der innere Würfel ist nicht kleiner als der äußere; er ist weiter von der Lampe entfernt.
• Eine dunkle Zelle ist weder geschrumpft noch verschwunden: Sie ist von der Lampe abgewandt.
• Kanten, die sich im Bild kreuzen, müssen sich im Schatten nicht treffen, und Kanten, die sich im Schatten treffen, müssen sich in vier Dimensionen nicht treffen: Zwischen dem Tesserakt und dem Bildschirm liegen zwei Projektionen.
• Nichts wird von innen nach außen gestülpt oder verbogen: Jede Drehung hier ist starr. Was sich ändert, ist der Abstand jedes Teils von der Lampe.
• Die vierte Dimension ist hier eine Raumrichtung, nicht die Zeit; die rote Taste „Durchlauf“ nutzt die Zeit nur, um diese Richtung zu durchlaufen.
• Ein Schnitt ist kein Schatten: Er ist der Teil des Tesserakts, der in einer Hyperebene liegt, in seiner wahren Größe, während der Schatten das gesamte Objekt auf eine niedrigere Dimension abbildet.

Geschichte

Charles Howard Hinton gab dem Tesserakt 1888 seinen Namen, in einem Buch darüber, wie man lernen könnte, sich vier Dimensionen vorzustellen [1]; Edwin Abbotts Flatland (1884) hatte bereits Wesen aus zwei Dimensionen einer dritten begegnen lassen, um diese Analogie zu vermitteln [2]. Thomas Banchoffs Computerfilme und sein Buch Beyond the Third Dimension zeigten die Schatten, Schnitte und Auffaltungen des Tesserakts in Drehung auf einem Bildschirm [3].

Verwandte Begriffe

Lineare Abbildung · Orthogonalprojektion (Seite geplant)

Quellen

1. C. H. Hinton, A New Era of Thought, Swan Sonnenschein (1888).
2. E. A. Abbott, Flatland: A Romance of Many Dimensions, Seeley & Co. (1884).
3. T. F. Banchoff, Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, Scientific American Library (1990).

Weiterführende Literatur: Wikipedia: Tesseract (Englisch).