Teserak

Teserak dalam visualisasi ini

Teserak adalah himpunan titik $(x, y, z, w)$ dengan setiap koordinat berada di antara $-1$ dan $1$: kubus dengan satu arah tambahan. Menggeser titik menghasilkan ruas garis, menggeser ruas garis menghasilkan persegi, persegi menghasilkan kubus, dan kubus — dalam arah keempat yang tegak lurus terhadap ketiga arah lainnya — menghasilkan teserak. Setiap langkah menggandakan jumlah titik sudut; kubus berdimensi $n$ memiliki $\binom{n}{k}2^{n-k}$ sisi berdimensi $k$, sehingga teserak memiliki 16 titik sudut, 32 rusuk, 24 persegi, dan 8 kubus, yaitu sel-selnya. Kedelapan sel membentuk batasnya, seperti keenam persegi membentuk permukaan kubus.

Yang ditampilkan gambar

Gambar besar adalah bayangan. Sebuah lampu berada pada sumbu $w$ dengan jarak $d$ dari pusat, dan setiap titik teserak memproyeksikan bayangannya ke ruang kita $w = 0$:

Ini adalah proyeksi pusat, versi empat dimensi dari lampu di atas kubus kawat yang menghasilkan bayangan di meja — layar di bagian atas panel menampilkan kubus tersebut. Bayangan itu merupakan objek tiga dimensi; layar kemudian menampilkannya dari satu sisi, sebagai proyeksi kedua. Menyeret gambar hanya mengubah proyeksi kedua itu.

Panel memutar teserak itu sendiri. Dalam empat dimensi, rotasi memutar sebuah bidang: dari enam bidang koordinat, tiga yang memuat $w$ (XW, YW, ZW) mengubah bentuk bayangan; putaran pada XY, XZ, dan YZ hanya memutar bayangan, seperti saat gambar diseret. XY+ZW memutar dua bidang sekaligus.

Sel biru adalah sel yang Anda lacak. Namanya, seperti w−, adalah label milik objek itu sendiri (sel yang koordinat $w$-nya sendiri bernilai $-1$), yang tetap dipertahankan bagaimanapun objek berputar. Tombol merah Setengah putaran memutar teserak 180° pada bidang yang dipilih dengan laju tetap dan meninggalkan lintasan titik-titik sudut sel yang dilacak, dengan tanda setiap 15°, sehingga selang waktunya sama.

Kenop mode menyediakan dua cara lain untuk melihatnya. Irisan: ruang kita $w = t$ memotong teserak dalam orientasinya saat ini. Irisannya berupa bangun ruang yang digambar dengan ukuran sebenarnya, di dalam bayangan samar yang dihasilkan cahaya sejajar sepanjang $w$ (irisan terletak pada hiperbidang $w = t$, sehingga menghilangkan koordinat $w$ memindahkannya tanpa mengubahnya). Ini merupakan bangun ruang nyata di ruang kita, sehingga digambar sebagaimana kita akan melihatnya: kaca yang diterangi cahaya biasa di sini. Tombol merah Sapu menyapu $t$ melintasi objek dengan laju tetap dan meninggalkan deretan irisan dengan selang yang sama. Integral volume irisan $V(t)$ menghasilkan volume empat dimensi teserak: $\int V\,dt = 2^4 = 16$.

Jaring-jaring: delapan kubus yang disusun di ruang kita membentuk silang, bentuk yang dilukis Salvador Dalí dalam Corpus Hypercubus (1954), dilipat dengan persegi yang dimiliki bersama sebagai engsel menuju dimensi keempat. Susunan silang yang terbuka rata terletak pada hiperbidang $w = 1$, sehingga bayangannya adalah susunan silang yang diperbesar $d/(d-1)$ kali: bentuk dan proporsinya sesuai, tetapi ukurannya tidak. Pada 90° kubus-kubus menutup menjadi teserak, dan kubus paling bawah pada susunan silang menjadi kubus kecil di dalam bayangan.

Mengapa kubus dalam tampak kecil

Dalam orientasi standar, dua sel terletak rata terhadap lampu: $w = 1$, yang lebih dekat, dan $w = -1$, yang lebih jauh. Sel pada ketinggian $w$ diperbesar $d/(d - w)$ kali, sehingga bayangan keduanya berupa kubus dengan panjang rusuk $2d/(d-1)$ dan $2d/(d+1)$: bentuk kubus di dalam kubus yang terkenal. Keenam sel lainnya membentang dari satu sel ke sel lainnya dan bayangannya tampak seperti kotak miring; kedelapannya adalah kubus yang sama besar.

Putaran pada bidang XW menggilir empat sel — $w-$ ke $x+$ ke $w+$ ke $x-$ — dan memutar empat sel lainnya di tempat, seperti kubus yang diputar di depan lampu membawa sisi bawahnya ke samping lalu ke atas. Setiap titik sudut bergerak pada lingkaran; bayangan lingkaran adalah elips — atau ruas garis, ketika cahayanya sejajar atau bidang lingkarannya melalui lampu.

Memutar XY dan ZW bersama dengan laju yang sama menggerakkan setiap titik kecuali pusat, masing-masing dengan sudut yang sama (hingga 180°). Setengah putaran membawa setiap titik ke sisi seberang pusat — pemetaan $-I$. Dalam tiga dimensi, $-I$ adalah pencerminan terhadap titik pusat; setiap rotasi di sana mempertahankan sebuah sumbu tetap.

Cahaya lampu

Lampu juga menerangi teserak, seperti lampu menerangi kubus. Hukum kosinus Lambert berlaku dalam dimensi berapa pun: sepotong permukaan menerima cahaya sebanding dengan kosinus sudut antara vektor normal yang mengarah ke luar dan arah menuju lampu. Permukaan teserak terdiri atas 8 selnya, masing-masing memiliki normal; sel yang menghadap lampu diterangi, semakin terang saat semakin menghadap lurus ke lampu, sedangkan sel yang membelakanginya gelap. Pijar di sekitar bagian terang adalah efek tampilan; kecerahannya sendiri berasal dari cahaya ini.

Cahaya lampu titik menyebar pada permukaan bola di sekelilingnya. Di ruang kita, luas permukaan bola bertambah sebanding dengan $r^2$, sehingga cahaya melemah sebanding dengan $1/r^2$; dalam empat dimensi, permukaan bola di sekitar lampu berdimensi tiga, ukurannya bertambah sebanding dengan $r^3$, dan cahaya melemah sebanding dengan $1/r^3$. Itulah sebabnya bagian terdekat dengan lampu berpijar dan cahayanya meredup begitu cepat melintasi sebuah sel. Dengan lampu di tak hingga, tidak ada pelemahan terhadap jarak.

Yang diterangi lampu persis sama dengan yang akan dilihat mata di posisi lampu: sel yang membelakangi lampu berada di belakang sel yang diterangi. Hanya sel yang diterangi hanya menampilkan sel-sel tersebut (sel yang dilacak, saat berada di belakang, tetap tampak sebagai jejak samar). Kubus menampilkan paling banyak 3 sisi sekaligus; teserak menampilkan paling banyak 4 sel, paling banyak satu untuk setiap sumbu miliknya — yaitu sel pada sisi sumbu tempat lampu berada, dengan lampu terletak di luar sel tersebut. Dengan sel lebih dulu ada 1, yaitu kubus luar yang besar; sisi lebih dulu 2; rusuk lebih dulu 3; titik sudut lebih dulu 4, sesuai empat tombol mode irisan. Bayangan sel-sel yang diterangi mengisi seluruh daerah di dalam garis luar bayangan tanpa saling tumpang tindih, seperti sisi atas kubus dengan lampu tepat di atasnya menghasilkan seluruh bayangan kubus itu.

Jaring-jaring diterangi oleh lampu yang sama. Saat terbuka rata pada $w = 1$, setiap kubus menghadapnya; saat dilipat, setiap kubus kecuali kubus pusat memutar normalnya menjauhi $w$ dan menggelap; saat tertutup, hanya $w+$ yang diterangi — gambar bayangan dengan hanya sel yang diterangi ditampilkan.

Mudah disalahartikan

• Kubus dalam tidak lebih kecil daripada kubus luar; letaknya lebih jauh dari lampu.
• Sel yang gelap tidak menyusut atau hilang: sel itu membelakangi lampu.
• Rusuk yang bersilangan pada gambar belum tentu bertemu pada bayangan, dan rusuk yang bertemu pada bayangan belum tentu bertemu dalam empat dimensi: ada dua proyeksi antara teserak dan layar.
• Tidak ada yang terbalik dari dalam ke luar atau melengkung: setiap putaran di sini bersifat kaku. Yang berubah adalah jarak setiap bagian dari lampu.
• Dimensi keempat di sini adalah arah dalam ruang, bukan waktu; tombol merah Sapu hanya menggunakan waktu untuk menyapu arah tersebut.
• Irisan bukanlah bayangan: irisan adalah bagian teserak yang terletak pada satu hiperbidang, dengan ukuran sebenarnya, sedangkan bayangan meratakan seluruh objek.

Sejarah

Charles Howard Hinton menamai teserak pada 1888, dalam buku tentang cara belajar membayangkan empat dimensi [1]; Flatland (1884) karya Edwin Abbott sebelumnya telah menggunakan makhluk dua dimensi yang berjumpa dengan dimensi ketiga untuk membuat analogi ini [2]. Film komputer Thomas Banchoff dan bukunya Beyond the Third Dimension menampilkan bayangan, irisan, dan bentuk terbuka teserak yang berputar di layar [3].

Konsep terkait

Transformasi linear · Proyeksi ortogonal (halaman direncanakan)

Referensi

1. C. H. Hinton, A New Era of Thought, Swan Sonnenschein (1888).
2. E. A. Abbott, Flatland: A Romance of Many Dimensions, Seeley & Co. (1884).
3. T. F. Banchoff, Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, Scientific American Library (1990).

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Tesseract (Bahasa Inggris).