四维超立方体

四维超立方体与本页画面

四维超立方体是每个坐标都在$-1$和$1$之间的点$(x, y, z, w)$组成的集合：比立方体多一个方向。一个点平移出线段，线段平移出正方形，正方形平移出立方体；立方体沿着和前三个方向都垂直的第四个方向平移，就得到四维超立方体。每一步顶点数翻倍；$n$维立方体的$k$维面有$\binom{n}{k}2^{n-k}$个，所以四维超立方体有16个顶点、32条棱、24个正方形面和8个立方体，叫作它的胞。8个胞组成它的边界，就像6个正方形组成立方体的表面。

画面上是什么

大图是一个影子。一盏灯放在$w$轴上、离中心$d$的地方，超立方体的每一点都把影子投到我们的空间$w = 0$里：

这是中心投影，也就是“灯照着线框立方体，桌上出现它的影子”在四维里的版本；面板顶上的小屏画的就是那个立方体。影子本身是一个三维的东西，屏幕再从一侧显示它，这是第二次投影。拖动画面只改变第二次投影。

面板转动的是超立方体本身。四维里的转动转的是一个平面：六个坐标平面里，含$w$的三个（XW、YW、ZW）会改变影子的形状；XY、XZ、YZ里的转动只是把影子整个转一下，也就是拖画面做的事。XY+ZW是两个平面一起转。

蓝色的胞是你追踪的那个。它的名字（如w−）是物体自己的标签（物体自己的$w = -1$的那个胞），转到哪里都不变。红键转半圈让超立方体在选中的平面里匀速转180°，留下被追踪的胞的顶点走过的路，每15°一个刻点，也就是相等的时间间隔。

模式旋钮给出另外两种看法。截面：我们的空间$w = t$切过当前姿态的超立方体。切口是一个立体，按真实大小画，外面套着沿$w$方向的平行光影子（切口在超平面$w = t$里，去掉$w$坐标只是把它平移，不改变它）。它是真的出现在我们空间里的实心块，所以按我们亲眼会看到的样子画：一块被我们这里普通的灯照着的玻璃。红键穿过让$t$匀速扫过去，留下一排等间隔的切口。切口的体积$V(t)$对$t$积分，正好是超立方体的四维体积：$\int V\,dt = 2^4 = 16$。

展开图：8个立方体在我们的空间里摆成一个十字（Salvador Dalí在《超立方体上的受难》（1954）里画过这个形状），沿着共用的正方形折进第四维。平摊的十字在超平面$w = 1$里，所以它的影子是十字放大$d/(d-1)$倍：形状和比例是真的，大小不是。折到90°，8个立方体合成超立方体，十字最下面那块就成了影子里面那个小立方体。

里面的立方体为什么小

标准姿态下，有两个胞正对着灯：离灯近的$w = 1$和离灯远的$w = -1$。高度为$w$的胞被放大$d/(d - w)$倍，所以它们的影子是边长$2d/(d-1)$和$2d/(d+1)$的立方体：这就是有名的“方块套方块”。另外6个胞从一个连到另一个，影子像斜盒子；8个胞其实一样大。

在XW平面里转，会让四个胞轮流换位（$w-$到$x+$到$w+$到$x-$），另外四个原地转；就像灯下的立方体转动时，底面经过侧面转到顶上。每个顶点都在画圆；圆的影子是椭圆；平行光下，或者圆所在的平面经过灯时，是线段。

XY和ZW两个平面同时同速地转，除了中心，每个点都在动，而且转过同样的角度（不超过180°时）。转半圈，每个点都到了中心对面，也就是映射$-I$。在三维里，$-I$是镜像；三维的每个转动都有一根不动的轴。

灯光

这盏灯也照亮超立方体，就像灯照亮一个立方体。朗伯余弦定律在任何维数都成立：一小块表面接到的光，和它的外法向与指向灯的方向之间夹角的余弦成正比。超立方体的表面是8个胞，每个胞有一个法向；朝着灯的胞被照亮，越正对着灯越亮；背着灯的胞是暗的。亮处周围的光晕是显示效果，亮度本身就是这盏灯的光。

点光源的光摊在以它为中心的球面上。我们的空间里，球面的面积按$r^2$增长，所以光按$1/r^2$变暗；四维里，灯周围的球面是三维的，它的大小按$r^3$增长，光就按$1/r^3$变暗。所以离灯最近的地方发亮，光在一个胞上衰减得很快。灯在无穷远时没有这种衰减。

灯照亮的，正好是站在灯的位置的眼睛能看到的：背着灯的胞都被挡在照亮的胞后面。只看照亮的只留下这些胞（追踪的胞在背面时，只留一道淡影）。立方体一次最多露出3个面；超立方体一次最多露出4个胞，它自己的每根轴最多一个：灯在那根轴的哪一侧并且超出了超立方体，就是那一侧的胞。胞朝前时是1个，就是外面的大立方体；面朝前2个；棱朝前3个；顶点朝前4个，正好是截面档的四个键。被照亮的胞的影子正好铺满整个影子的轮廓，互不重叠，就像灯在正上方时，立方体的顶面投出了整个影子。

展开图也由这盏灯照着。平摊在$w = 1$里时，每块立方体都朝着灯；折起来时，除了中间那块，每块的法向都从$w$方向转开，于是变暗；合上以后只剩$w+$亮着，也就是影子只看照亮的胞时的样子。

容易误读的地方

• 里面的立方体并不比外面的小，只是离灯更远。
• 暗下去的胞没有变小，也没有消失：它只是背着灯。
• 画面上交叉的棱，在影子里不一定相交；影子里相交的棱，在四维里也不一定相交：超立方体和屏幕之间隔着两次投影。
• 没有东西“里外翻转”或弯曲：这里每一次转动都是刚体转动。变的是各部分离灯有多远。
• 这里的第四维是空间里的一个方向，不是时间；红键“穿过”只是用时间去扫这个方向。
• 截面不是影子：截面是超立方体落在一个超平面里的那一部分，按真实大小；影子把整个物体压扁了。

来历

Charles Howard Hinton在1888年一本讲怎样学会想象四维的书里给四维超立方体起了tesseract这个名字 [1]；更早的Edwin Abbott在《平面国》（1884）里，已经用二维生物遇到三维物体来做这种类比 [2]。Thomas Banchoff的计算机影片和他的书《Beyond the Third Dimension》把超立方体的影子、截面和展开图放到屏幕上转动 [3]。

相关概念

线性变换 · 正交投影（页面筹备中）

参考文献

1. C. H. Hinton, A New Era of Thought, Swan Sonnenschein (1888).
2. E. A. Abbott, Flatland: A Romance of Many Dimensions, Seeley & Co. (1884).
3. T. F. Banchoff, Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, Scientific American Library (1990).

延伸阅读：维基百科：四维超正方体。